Esercizio studio di funzione esame #1
Considerare la funzione
f(x)=\log\left(\lvert x^2-2x-3\rvert\right)
Si studi:
I. il dominio e il segno di f, nonché i limiti e gli eventuali asintoti associati alla funzione agli estremi del dominio stesso
II. la derivabilità di f e, se opportuno, calcolare f'
III. il segno (monotonia) di f' e gli eventuali punti di massimo/minimo assoluto e relativo
IV. la derivabilità di f' e, se opportuno, calcolare f''
V. la concavità/convessità di f''
Si rappresenti inoltre il grafico qualitativo di f.
Svolgimenti:
Dominio
1. L’argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero. Poiché è presente il valore assoluto tali valori saranno sicuramente sempre maggiori o al più uguali a zero. Non ci resta dunque che imporre l’argomento del logaritmo diverso da zero
\lvert x^2-2x-3\rvert\neq0
2. da cui possiamo togliere il valore assoluto
x^2-2x-3\neq0
3. E ottenere le soluzioni x_{1,\,2} tramite la formula risolutiva standard
\begin{align*}x_{1,\,2}&=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-3)}}{2\cdot1}\\[10pt]&=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}\\[10pt]&=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}\end{align*}Segno
5. Studiamo, per esempio, quando f(x)\geq0. Poiché sappiamo che la funzione logaritmo è positiva (al più uguale a zero) se il suo argomento è maggiore di 1. Dovremo dunque imporre
\lvert x^2-2x-3\rvert\geq1
6. Dove si tratta, di fatto, di risolvere il sistema seguente distribuendo il valore assoluto
\begin{cases}x^2-2x-3\geq1\\x^2-2x-3\leq-1\end{cases}7. Da cui possiamo studiare le equazioni associate. Di fianco è riportato il segno della disuguaglianza studiata
\begin{cases}x^2-2x-4=0&(\geq)\\x^2-2x-2=0&(\leq)\end{cases}8. Che sono due equazioni di secondo grado standard che hanno come soluzioni
\begin{cases}x_{1,\,1}=\displaystyle\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-4)}}{2\cdot1}=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=1\pm\sqrt{5}\\[10pt]x_{3,\,4}=\displaystyle\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2}-4(1)(-2)}{2\cdot1}=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}\end{cases}9. Esprimiamo le soluzioni in maniera equivalente
\begin{gathered}x\leq\overbrace{1-\sqrt{5}}^{-1.24=x_0}\text{ e }x\geq\overbrace{1+\sqrt{5}}^{3.24=x_3}\\[10pt]\underbrace{1-\sqrt{3}}_{-0.73=x_1}\leq x\leq\underbrace{1+\sqrt{3}}_{2.73=x_2}\end{gathered}10. E poiché tali soluzioni rappresentano gli intervalli in cui la funzione è positiva (o al più uguale a zero) possiamo riassumere la positività/negatività di f in base agli x_1,\,\dots,\,x_4 nel modo seguente
\begin{cases}f(x)<0&\text{se } x\in(x_0,\,x_1)\cup(x_2,\,x_3)\\f(x)\geq0&\text{altrimenti}\end{cases}Limiti e asintoti
11. Gli estremi del dominio sono \pm\infty, -1 e 3. Dovremo studiare separatamente i valori -1^+ e -1^- nonché 3^+ e 3^- per capire come si comporta la funzione quando ci si avvicina a quelle rette rispettivamente da destra e sinistra
12. Partiamo con lo studio del limite verso \pm\infty. Il polinomio x^2-2x-3 è asintotico a x^2, dunque possiamo sostituire tale valore all’interno del limite e rimuovere il valore assoluto visto che x^2 è già positivo
\lim_{x\to\pm\infty}\log\left(x^2\right)=+\infty13. Dunque non ci sono asintoti orizzontali. Passiamo allo studio degli asintoti verticali. Studiamo il limite per x\to-1^+. Utilizzeremo la notazione approssimata per semplificare i limite
\begin{aligned}\lim_{x\to-1^+}\log\left(\lvert x^2-2x-3\rvert\right)&=\log\left(\lvert1^++2^+-3\rvert\right)\\[10pt]&=\log\left(|0^+|\right)=\log\left(0^+\right)\\[10pt]&=-\infty\end{aligned}14. Per x\to-1^- invece
\begin{aligned}\lim_{x\to-1^-}\log\left(\lvert x^2-2x-3\rvert\right)&=\log\left(\lvert1^-+2^--3\rvert\right)\\[10pt]&=\log\left(|0^-|\right)=\log\left(0^+\right)\\[10pt]&=-\infty\end{aligned}15. Per x\to3^+ si ottiene
\begin{aligned}\lim_{x\to-3^+}\log\left(\lvert x^2-2x-3\rvert\right)&=\log\left(\lvert9^+-6^+-3\rvert\right)\\[10pt]&=\log\left(|0^+|\right)=\log\left(0^+\right)\\[10pt]&=-\infty\end{aligned}16. Per x\to3^- infine
\begin{aligned}\lim_{x\to3^-}\log\left(\lvert x^2-2x-3\rvert\right)&=\log\left(\lvert9^--6^--3\rvert\right)\\[10pt]&=\log\left(|0^-|\right)=\log\left(0^+\right)\\[10pt]&=-\infty\end{aligned}17. Poiché \displaystyle\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to -1^-}f(x) la retta x=-1 è un asintoto verticale per la funzione verso -\infty, cosa che vale anche per il punto x=3 che verifica le stesse condizioni
18. Poiché il limite per x\to\pm\infty è +\infty dobbiamo studiare la presenza di asintoti obliqui tenendo conto dell’asintoticità discussa in precedenza di f(x)
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2\log(x)}{x}=019. Che però non esistono poiché si avrebbe in questo caso m=0
Derivata prima
20. Tutte le funzioni che compongono f sono derivabili nel dominio considerato, dunque anche la funzione f stessa è derivabile in tale dominio. Ricordando le derivate notevoli si ottiene
f'(x)=\frac{2x-2}{x^2-2x-3}Segno della derivata prima e punti di massimo/minimo
21. Per studiare il segno di f'(x)\geq0 dobbiamo risolvere
\frac{\overbrace{2x-2}^{\displaystyle N(x)}}{\underbrace{x^2-2x-3}_{\displaystyle D(x)}}\geq022. Dove per il numeratore vale
\begin{aligned}N(x)\geq0&\iff2x-2\geq0\\&\iff x\geq\frac{2}{2}=1\end{aligned}23. Mentre il denominatore
\begin{aligned}D(x)>0&\iff x^2-2x-3>0\\&\iff x<-1\vee x>3\end{aligned}24. Che possiamo rappresentare tramite il grafico seguente per evidenziarne il segno, dunque la relativa crescenza/decrescenza della derivata prima
[grafico temporaneo]
-1 1 3
sgn(N(X)) - | - | + | +
•-------------
sgn(D(x)) + | - | - | +
------ --------
sgn(f'(x)) - + - +25. Riassumendo in maniera analitica avremo
\begin{cases}f'(x)\geq0&-1<x\leq1\vee x>3\\ f'(x)<0&\text{altrimenti}\end{cases}26. Notiamo quindi che il punto x=1 è un punto di massimo locale, ma non globale.
Derivata seconda
27. Per calcolare la derivata seconda dobbiamo utilizzare la regola di derivazione delle funzioni razionali
f''(x)=\frac{\textcolor{00ffa1}{
2}\left(x^2-2x-3\right)-\textcolor{00ffa1}{
(}2x-2\textcolor{00ffa1}{
)(}2x-2\textcolor{00ffa1}{
)}}{\left(x^2-2x-3\right)^2}28. Che possiamo espandere svolgendo le moltiplicazioni evidenziate
\frac{2x^2-4x-6\textcolor{00ffa1}{
-}\left(4x^2-4x-4x+4\right)}{\left(x^2-2x-3\right)^2}29. Distribuendo il meno e cancellando i termini opposti
\frac{2x^2-\cancel{4x}-6-4x^2+\cancel{4x}+4x-4}{\left(x^2-2x-3\right)^2}30. Sommando i termini simili
\frac{-2x^2+4x-10}{\left(x^2-2x-3\right)^2}\geq031. A questo punto possiamo osservare che il denominatore è sempre maggiore di zero, mentre il numeratore non lo è mai. Per tale motivo la disequazione precedente non ha soluzioni dunque la funzione è sempre minore di zero nel dominio in cui è definita
f''(x)<0\quad\forall\,\,x\in\text{dom}(f'')=\text{dom}(f)Grafico
32. Il grafico della funzione è riportato di seguito
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