Esercizio studio di funzione esame #2
Considerare la funzione
f(x)=\arcsin\left(\frac{|x|-4}{x^2+2}\right)Si studi:
— I. il dominio e il segno di f, nonché le simmetrie, i limiti e gli eventuali asintoti agli estremi del dominio stesso
— II. la derivabilità di f e, se opportuno, calcolare f'
— III. il segno (monotonia) di f' e gli eventuali punti di massimo/minimo assoluto e relativo
Si rappresenti inoltre il grafico qualitativo di f.
Svolgimenti
Dominio
1. Per studiare il dominio dobbiamo innanzitutto imporre il denominatore della frazione diverso da zero
x^2+2\neq0
2. Che risulta essere vera \forall\,x\in\R. Imponiamo dunque la seconda condizione, ovvero che l’argomento dell’arcoseno deve essere compreso tra \pm1. Di fatto si tratta di calcolare
-1\leq\frac{|x|-4}{x^2+2}\leq1\iff\begin{cases}\dfrac{|x|-4}{x^2+2}\leq1&(1)\\[10pt]\dfrac{|x|-4}{x^2+2}\geq-1&(2)\end{cases}3. Risolviamo prima la (1)
\begin{aligned}(1)&=\dfrac{|x|-4}{x^2+2}-1\\[10pt]&=\frac{|x|-4-x^2-2}{x^2+2}\leq0\end{aligned}4. Poiché il denominatore è sempre maggiore di zero, l’espressione è negativa se e solo se il numeratore è negativo. Poiché il numeratore è sempre negativo tale espressione è sempre verificata dunque non aggiunge ulteriori condizioni per il dominio. Passiamo quindi all’analisi di (2)
\begin{aligned}(2)&=\dfrac{|x|-4}{x^2+2}+1\\[10pt]&=\dfrac{|x|-4+x^2+2}{x^2+2}\geq0\end{aligned}5. Poiché, ancora una volta, il denominatore è sempre positivo, l’espressione sarà verificata se e solo se il numeratore è \geq0. Tale condizione è verificata se x\leq-1 oppure x\geq1, che sono proprio il dominio della funzione.
Com’è stato ottenuto questo risultato?
a. Si tratta di trovare le soluzioni del seguente sistema
|x|-2+x^2\geq0\iff\begin{cases}x-2+x^2\geq0&\textcolor{00ffa1}{x\geq0}&(a)\\-x-2+x^2\geq0&\textcolor{00ffa1}{x<0}&(b)\end{cases}b. Studiando la parte (a) si trova, tramite lo studio dell’equazione associata
(a)=\begin{cases}x\geq1\\x\leq-2&\text{non acc.}\\\textcolor{00ffa1}{x\geq0}\end{cases}c. L’unica condizione accettabile per (a) è dunque x\geq1. Studiamo ora la parte (b). Tramite lo studio dell’equazione associata si trova
(b)=\begin{cases}x\geq2&\text{non acc.}\\x\leq-1\\\textcolor{00ffa1}{x<0}\end{cases}d. L’unica condizione accettabile per (b) è invece x\leq-1. Mettendo assieme le condizioni si trova quindi che deve valere
x\leq-1\vee x\geq1
che è il dominio della funzione.
Simmetrie
6. Controlliamo se la funzione presenta simmetrie. Se la funzione è pari deve valere
\begin{aligned}f(x)\stackrel{?}{=}f(\textcolor{00ffa1}{-x})&=\arcsin\left(\frac{|\textcolor{00ffa1}{-x}|-4}{(\textcolor{00ffa1}{-x})^2+2}\right)\\[10pt]&=\arcsin\left(\frac{|x|-4}{x^2+2}\right)=f(x)\end{aligned}7. La funzione dunque è pari—e in quanto pari non può essere anche dispari, infatti vale
f(x)=\arcsin\left(\frac{|x|-4}{x^2+2}\right)\neq\arcsin\left(\frac{4-|x|}{x^2+2}\right)=-f(x)Segno
8. Per lo studio del segno dobbiamo controllare quando f(x)\geq0. Poiché però è presente la funzione arcoseno, ricordiamo che tale funzione è positiva soltanto se il suo argomento è positivo, quindi si tratta in realtà di studiare quando
\frac{\overbrace{|x|-4}^{\displaystyle N(x)}}{\underbrace{x^2+2}_{\displaystyle D(x)}}\geq09. Per il numeratore N(x) di tale funzione vale
\begin{aligned}N(x)\geq0&\iff|x|-4\geq0\\&\iff|x|\geq4\\&\iff x\leq-4\vee x\geq4\end{aligned}10. Il denominatore D(x) invece è sempre positivo, quindi mettendo a sistema le condizioni si ottiene
Dove si ha
\begin{cases}f(x)\geq0&x\in(-\infty,\,-4]\cup[4,\,+\infty)\\f(x)<0&\text{altimenti}\end{cases}Limiti/asintoti
11. Poiché la funzione è pari possiamo limitarci allo studio degli asintoti limitando il dominio ulteriormente con x\geq0, sapendo che ogni risultato trovato sarà poi specchiato anche per i valori negativi. Nota: il valore assoluto non sarà più necessario nei calcoli seguenti. Partiamo con lo studio del limite quando x\to+\infty.
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\arcsin\left(\frac{x-4}{x^2+2}\right)12. Poiché si ha, per uguaglianza asintotica quando x\to+\infty
\frac{x-4}{x^2+2}\sim\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}\to013. Il limite precedente si risolve in maniera immediata
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\arcsin(0)=\arcsin(0)=0che rappresenta dunque un asintoto orizzontale y=0.
14. Per quanto riguarda invece il limite per x\to1 possiamo invece sostituire semplicemente il valore x=1 nell’espressione del limite senza dare luogo a una forma indeterminata. Si ha infatti
\begin{aligned}\lim_{x\to1}f(x)&=\lim_{x\to1}\arcsin\left(\frac{x-4}{x^2+2}\right)\\[10pt]&=\arcsin\left(\frac{1-4}{1+2}\right)\\[10pt]&=\arcsin\left(-\frac{\cancel{3}}{\cancel{3}}\right)=-\frac{\pi}{2}\end{aligned}Derivata prima e punti di massimo/minimo
15. Per calcolare la derivata prima è necessario ricordare la derivata notevole dell’arcoseno
\frac{d}{d\psi}\left[\arcsin(\psi)\right]=\frac{1}{\sqrt{1-\psi^2}}Bisogna quindi calcolare
\frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}\left[\arcsin\left(\frac{x-4}{x^2+2}\right)\right]=16. Poiché abbiamo a che fare con una funzione composta dobbiamo risolvere
=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x-4}{x^2+2}\right)^2}}}_{\displaystyle(\clubs)}\cdot\underbrace{\frac{d}{dx}\left[\frac{x-4}{x^2+2}\right]}_{\displaystyle(\spades)}17. La parte (\spades) si può derivare secondo la regola di derivazione delle funzioni razionali, ottenendo
\begin{aligned}(\spades)&=\frac{x^2+2\textcolor{00ffa1}{-2x}(x-4)}{(x^2+2)^2}\\[10pt]&=\frac{x^2+2-2x^2+8x}{(x^2+2)^2}\\[10pt]&=\frac{-x^2+8x+2}{(x^2+2)^2}\end{aligned}18. La frazione (\clubs) può invece essere riscritta portando a denominatore comune l’espressione sotto radice dopo aver distribuito il quadrato sulla frazione
\begin{aligned}(\clubs)&=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(x-4)^2}{(x^2+2)^2}}}\\[10pt]&=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^2}{\left(x^2+2\right)^2}}}=\end{aligned}19. Possiamo ora “capovolgere” la frazione e distribuire la radice tra numeratore e denominatore, eliminando in questo modo il quadrato del binomio al numeratore
\begin{aligned}&=\sqrt{\frac{\left(x^2+2\right)^2}{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^2}}\\[10pt]&=\frac{x^2+2}{\sqrt{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^2}}\end{aligned}20. Ricomponendo ora la derivata abbiamo
\begin{aligned}f'(x)&=(\clubs)\cdot(\spades)\\[10pt]&=\frac{\cancel{x^2+2}}{\sqrt{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^{2}}}\cdot\frac{-x^2+8x+2}{(x^2+2)^{\cancel{2}}}\\[10pt]&=\frac{-x^2+8x+2}{(x^2+2)\sqrt{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^2}}\end{aligned}21. Non ci resta dunque che studiarne il segno. Controlliamo quando la derivata è positiva
f'(x)\geq0\iff\frac{-x^2+8x+2}{(x^2+2)\sqrt{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^2}}\geq022. Per risolvere tale disequazione dobbiamo porre il numeratore N(x) di f’ maggiore o uguale a zero, mentre il denominatore D(x) maggiore di zero
\begin{aligned}N(x)\geq0&\iff-x^2+8x+2\geq0\\&\iff 4-3\sqrt{2}\leq x\leq4+3\sqrt{2}\\[10pt]D(x)>0&\iff\overbrace{(x^2+2)}^{\displaystyle>0}\sqrt{\left(x^2+2\right)^2-(x-4)^2}>0\\[10pt]&\iff x<-2\vee x>1\end{aligned}23. Mettendo a sistema le condizioni per cui f'(x)\geq0 con quelle del dominio si ottiene
\begin{cases}4-3\sqrt{2}\leq x\leq4+3\sqrt{2}\\x<-2\vee x>1\\x\leq-1\vee x\geq1\end{cases}\Rightarrow 1<x<4+3\sqrt{2}\approx8.2424. La derivata sarà dunque positiva nell’intervallo (1,\,4+3\sqrt{2}), dunque crescente. Il valore del massimo sarà dato da
f(4+3\sqrt{2})\approx0.06mentre quello del minimo l’abbiamo già calcolato in precedenza e vale
f(1)=-\frac{\pi}{2}Naturalmente, poiché la funzione è pari, tali osservazioni saranno da ripetere “a specchio” anche per tutte le x negative. Riportiamo nella sezione seguente il grafico della funzione studiata.
Grafico
25. Riportiamo di seguito il grafico della funzione
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