Esercizio serie numeriche esame #6
Studiare la convergenza della serie al variare del parametro \alpha>\R
\sum_{n=1}^{+\infty}n^2\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)-1+\sin\left(\frac{1}{2n^{\alpha}}\right)\right)Suggerimento #1
Poiché è presente il parametro \alpha>0 la frazione \dfrac{1}{2n^{\alpha}} non si “capovolgerà” mai, quindi per n\to+\infty tale frazione tenderà a zero.
Suggerimento #2
Poiché le quantità all’interno delle funzioni seno e coseno tendono a zero possono essere approssimati tramite Taylor e la serie studiata successivamente tramite il criterio del confronto asintotico.
Suggerimento #3
Sviluppando i termini fino al quarto ordine si ottiene una nuova serie in cui il termine \alpha\,\theta\,2 con \theta\in\{<,\,=,\,>\} è un punto d’interesse che determinerà la convergenza/divergenza della serie stessa.
Svolgimento
1. Per risolvere la serie andremo ad applicare il criterio del confronto asintotico. Espandiamo però prima il coseno tramite Taylor al quarto ordine
\cos\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{(1/n)^2}{2}+\frac{(1/n)^4}{4!}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)2. Come detto nel primo suggerimento, la frazione \dfrac{1}{2n^{\alpha}} non si “capovolgerà” mai, quindi per n\to+\infty tale frazione tenderà a zero. Approssimiamo quindi anche il seno con Taylor. L’ordine di tale espansione non è ben definito, infatti varia con il parametro \alpha
\sin\left(\frac{1}{2n^{\alpha}}\right)=\frac{1}{2n^{\alpha}}-\frac{\left(\dfrac{1}{2n^{\alpha}}\right)^3}{3!}+o\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)3. Riscrivendo la serie originale con le approssimazioni del coseno e del seno si ottiene
\sum_{n=1}^{+\infty}\textcolor{00ffa1}{
n^2}\left(\cancel{1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^2}+\frac{1}{4!}\cdot\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)-\cancel{1}+\frac{1}{2n^{\alpha}}-\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{2n^{3\alpha}}+o\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)\right)4. Moltiplicando tutto per l’n^2 evidenziato anche gli o-piccolo cambiano di valore, dunque poiché \alpha>0 gli esponenti che contengono \alpha saranno sicuramente \geq3. Per la presenza di o\left(\dfrac{1}{n^2}\right) potremo dunque cancellare dei termini
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{4!\,n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)+\frac{n^2}{2n^{\alpha}}-\cancel{\frac{n^2}{3!\cdot2n^{3\alpha}}}+\cancel{o\left(\frac{n^2}{n^{3\alpha}}\right)}\right)5. L’espressione finale da studiare sarà quindi la seguente
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{4!\,n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)+\underbrace{\frac{n^2}{2n^{\alpha}}}_{\displaystyle(\clubs)}\right)6. Notiamo subito che il valore \alpha=2 è il massimo valore che la frazione che contiene \alpha può assumere prima di essere sovrastata dalla presenza dell’o-piccolo. Per \alpha=2 la quantità (\clubs) avrà dunque valore
\left.\frac{n^2}{2n^{\alpha}}\right\vert_{\alpha=2}=\frac{\cancel{n^2}}{2\cdot\cancel{n^2}}=\frac{1}{2}7. Inserendo nella serie originale si ottiene quindi
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\cancel{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4!\,n^2}+\cancel{\frac{1}{2}}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4!\,n^2}8. Poiché il termine \dfrac{1}{4!\,n^2} è infinitesimo per n\to+\infty la serie converge per \alpha=2.
9. Nel caso in cui \alpha>2 il termine (\clubs) non si capovolgerà mai, dunque si avrà la serie
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{4!\,n^2}}_{\displaystyle\to0}+\underbrace{\frac{1}{2n^{\alpha-2}}}_{\displaystyle\to0}\right)=-\frac{1}{2}10. Poiché per n\to+\infty la presenza delle n a denominatore fa tendere a zero tali frazioni, si ottiene una serie costante di valore -1/2. Poiché tale valore non è infinitesimo, per \alpha>2 la serie assegnata diverge.
11. Nell’ultimo caso in cui si ha invece \alpha<2( e \alpha>0 imposta dall’esercizio). Il termine (\clubs) avrà valore
\frac{1}{2n^{\alpha-2}}12. Dunque la frazione si capovolgerà poiché 0<\alpha<2 e viene a formare un esponente negativo a denominatore. Tale valore per n\to\infty non sarà più dunque infinitesimo, bensì infinito
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{4!\,n^2}}_{\displaystyle\to0}+\underbrace{\frac{1}{2n^{\alpha-2}}}_{\displaystyle\to+\infty}\right)=+\infty13. La serie dunque diverge per \alpha<2. Riassumendo i risultati dei paragrafi 8, 10 e 13, il comportamento generale della serie è il seguente
\fbox{$\begin{cases}\text{convergente}&\alpha=2\\\text{divergente}&\alpha\in \R^+\backslash\{2\}\end{cases}$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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