Esercizio serie numeriche esame #4
Studiare il carattere della serie
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left[\arcsin\left(n^{-1}\right)+3\right]\left[\tan\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]^{\displaystyle\alpha}}{\log\left(n^2+2\right)-\log\left(n^2\right)}Al variare del parametro \alpha\in\R.
Suggerimento #1
È necessario applicare il criterio del confronto asintotico.
Suggerimento #2
n^{-1} e 1/n tendono a zero quando n\to+\infty, quindi possono essere approssimate con Taylor, mentre i logaritmi a denominatore vanno semplificati tramite un raccoglimento a fattore comune.
Suggerimento #3
Raccogliendo n^2 a fattore comune dal denominatore e applicando la proprietà dei logaritmi per cui \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b) è possibile semplificare tale espressione e sviluppare con Taylor anche tale parte dell’espressione.
Svolgimento
1. Per semplificare la serie possiamo applicare il criterio del confronto asintotico studiando la serie quando n\to+\infty
2. Poiché n^{-1}=\dfrac{1}{n}\to0 quando n\to+\infty sviluppiamo l’arcoseno e la tangente con Taylor al terzo ordine
\arcsin\left(n^{-1}\right)=\arcsin\left(\dfrac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+\frac{\left(1/n\right)^3}{6}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\\[10pt]\tan\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+\frac{\left(1/n\right)^3}{3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)3. Nel denominatore possiamo raccogliere n^2 dal primo logaritmo
\log\left(n^2+2\right)=\log\left(n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\right)4. E tramite la proprietà del terzo suggerimento possiamo scrivere l’equivalenza
\log\left(n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\right)=\log\left(n^2\right)+\underbrace{\log\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}_{\displaystyle (\hearts)}5. A questo punto il logaritmo (\hearts) può essere espanso con Taylor, infatti 2/n^2\to0 per n\to+\infty. Nota: possiamo espanderlo solo fino al secondo ordine, infatti tale operazione non genera indeterminatezza
\log\left(1+\frac{2}{n^2}\right)=\frac{2}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)6. Ricomponendo i risultati ottenuti nei passaggi 2, 4 e 5 si ottiene la serie asintotica
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left[\overbrace{\textcolor{00ffa1}{\dfrac{1}{n}}}^{\displaystyle\to0}+\cancel{\dfrac{\left(
1/n\right)^3}{6}}+\cancel{o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}+3\right]\cdot\left[\cancel{\dfrac{1}{n}}+\dfrac{(1/n)^3}{3}+o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)-\cancel{\dfrac{1}{n}}\right]^{\displaystyle\alpha}}{\cancel{\log\left(n^2\right)}+\dfrac{2}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)-\cancel{\log\left(n^2\right)}}7. Dalla quale possono essere eliminati i termini di terzo grado dalla prima quadra al numeratore e possono essere cancellati i termini opposti tra loro. Per quanto riguarda i termini della seconda quadra non possiamo semplicemente cancellarli per la presenza di o\left(\dfrac{1}{n^2}\right), infatti tali quantità devono essere elevate alla \alpha, che cambierà dunque il valore dell’esponente della n. Inoltre, il fattore evidenziato 1/n tende a 0 quando n\to+\infty, e non generando indeterminatezza, può essere semplicemente sostituito con 0. Riscrivendo la serie ottenuta dopo le precedenti osservazioni si ha (omettendo la scrittura degli o-piccolo per comodità, visto che ormai non ci servono più)
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3\left[\dfrac{(1/n)^3}{3}\right]^{\displaystyle\alpha}}{\dfrac{2}{n^2}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3\left[\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{n^3}\right]^{\displaystyle\alpha}}{\dfrac{2}{n^2}}8. Tramite le proprietà degli esponenti possiamo inoltre riscrivere l’espressione distribuendo \alpha e portando fuori dalla sommatoria i termini costanti
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3\cdot\dfrac{1}{3^{\alpha}}\cdot\dfrac{1}{n^{3\alpha}}}{\dfrac{2}{n^2}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3^{\alpha}}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\dfrac{1}{n^{3\alpha}}}{\dfrac{1}{n^2}}9. Riscrivendo la frazione all’interno della sommatoria portando la n a denominatore
\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3^{\alpha}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{3\alpha-2}}10. Ricordando la convergenza/divergenza della serie armonica generalizzata sappiamo che tale serie converge se
3\alpha-2>1\iff\alpha>1
mentre diverge per tutti gli altri valori di \alpha.
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