Esercizio serie numeriche esame #2
Studiare la convergenza/divergenza della serie
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{n^n}{n!}Suggerimento #1
Per studiare la serie si può applicare il criterio del rapporto.
Suggerimento #2
Nella risoluzione del limite associato tramite il criterio del rapporto ricordarsi le seguenti uguaglianze
(n+1)!=(n+1)\cdot n!\\[10pt](n+1)^{\displaystyle n+1}=(n+1)^{\displaystyle n}\cdot(n+1)\\[10pt]2^{\displaystyle n+1}=2^{\displaystyle n}\cdot2Suggerimento #3
Ricordarsi il limite notevole.
\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\displaystyle n}=eSvolgimento
1. Applichiamo il criterio del rapporto alla serie assegnata (la chiamiamo a_n) e studiamo il valore del seguente limite
\ell=\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}2. In particolare ci saranno i seguenti valori per a_{n+1} e a_n
a_{n+1}=\frac{1}{2^{\displaystyle n+1}}\cdot\frac{(n+1)^{\displaystyle n+1}}{(n+1)!}\\[10pt]a_n=\frac{1}{2^{\displaystyle n}}\cdot\frac{n^{\displaystyle n}}{n!}3. Dovremo dunque studiare il limite
\lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{2^{\displaystyle n+1}}\cdot\frac{(n+1)^{\displaystyle n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{1}{\textcolor{00ffa1}{2^{\displaystyle n}}}\cdot\frac{n^{\displaystyle n}}{\textcolor{00ffa1}{n!}}}4. Riscrivendo il denominatore come una moltiplicazione tra frazioni
\lim_{n\to+\infty}\underbrace{\frac{1}{2^{\displaystyle n+1}}\cdot\frac{(n+1)^{\displaystyle n+1}}{(n+1)!}}_{\displaystyle a_{n+1}}\cdot\underbrace{\textcolor{00ffa1}{2^{\displaystyle n}}\cdot\frac{{\textcolor{00ffa1}{n!}}}{n^{\displaystyle n}}}_{\displaystyle a_n}5. Ricordando le uguaglianze del secondo suggerimento possiamo scrivere una versione equivalente del limite precedente
(n+1)!=(n+1)\cdot n!\\(n+1)^{\displaystyle n+1}=(n+1)^{\displaystyle n}\cdot(n+1)\\2^{\displaystyle n+1}=2^{\displaystyle n}\cdot26. da cui otteniamo
\lim_{n\to+\infty}\frac{\textcolor{00ffa1}{1}}{\cancel{2^n}\cdot \textcolor{00ffa1}{2}}\cdot\frac{(n+1)^{\displaystyle n}\cdot\cancel{(n+1)}}{\cancel{(n+1)}\cdot\cancel{n!}}\cdot\frac{\cancel{n^n}\cdot\cancel{n!}}{n^{\displaystyle n}}7. Riscrivendo il limite
\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{\displaystyle n}}{n^{\displaystyle n}}8. Da cui possiamo portare a esponente comunque la n
\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\displaystyle n}9. E distribuendo il denominatore della frazione
\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\lim_{n\to+\infty}\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\displaystyle n}}_{\displaystyle\to e}10. Otteniamo immediatamente l’espressione finale
\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}e\approx1.36=\ell11. Poiché volevamo studiare la convergenza/divergenza della serie assegnata tramite il criterio del rapporto sappiamo che, poiché \fbox{$1.36>1$}, per tale criterio la serie originale \fbox{\text{diverge}}.
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