Esercizio serie numeriche esame #3
Determinare il carattere della serie
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1-\cos\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)}{\sqrt{n}+\arctan(7n)}Suggerimento #1
Per risolvere è necessario applicare due criteri di convergenza uno di seguito all’altro.
Suggerimento #2
Bisogna prima applicare il criterio del confronto asintotico e successivamente quello del rapporto.
Suggerimento #3
Dopo aver applicato il criterio del confronto asintotico si ottiene la serie
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}}{\sqrt{n}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}provare a studiare tale serie con il criterio del rapporto.
Svolgimento
1. Applichiamo per prima cosa il criterio del confronto asintotico. Per n\to+\infty valgono le seguenti relazioni (sviluppi di Taylor per il coseno e i valori asintotici dell’arcotangente)
\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\to0,\text{ quindi }\\[10pt]\begin{align*}\cos\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)&=1-\frac{\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)^2}{2}+o\left[\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)^2\right]\\[15pt]&=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\end{align*}2. Mentre per l’arcotangente vale
\arctan(7n)\to\frac{\pi}{2}3. Possiamo ora ricomporre la serie iniziale
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\displaystyle 1\textcolor{00ffa1}{-}\left(1-\frac{1}{2\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)}{\sqrt{n}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}4. E distribuire il meno. Nota: il segno dell’o-piccolo è ininfluente, dunque lo lasciamo, per comodità, positivo
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\displaystyle \cancel{1}-\cancel{1}+\frac{1}{2\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}5. Che possiamo infine riscrivere come
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}}{\sqrt{n}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}=a_n6. Applichiamo ora il criterio del rapporto
\ell=\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}dove a_{n+1} è pari a
a_{n+1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}7. Si tratta dunque di studiare il seguente limite
\lim_{n\to+\infty}=\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}}{\displaystyle\sqrt{n}+\frac{\pi}{2}}}8. Ovvero
\lim_{n\to+\infty}={\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}}\cdot\frac{\sqrt{n}+\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}}9. Per n\to+\infty valgono le seguenti equivalenze
\sqrt{n+1}+\frac{\pi}{2}\sim\sqrt{n+1}\\[10pt]\sqrt{n}+\frac{\pi}{2}\sim\sqrt{n}10. Dunque si tratta di studiare il limite
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{n+1}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n+1}}\cdot\sqrt{n}\cdot\cancel{2}\sqrt{n}11. Svolgendo le moltiplicazioni
\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=\fbox{1}12. Per il criterio del rapporto si ha che poiché 1\nless1 la serie assegnata inizialmente \fbox{\text{diverge}}.
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