Esercizio problema di Cauchy #1
Trovare le soluzioni y:\left(-\pi/2,\,\pi/2\right)\rightarrow\R del problema di Cauchy
\begin{cases}y'+\tan(x)y=\cos(x)\\y(0)=1\end{cases}Suggerimento #1
Si tratta di un problema di Cauchy lineare, quindi per trovare le soluzioni è necessario esplicitare tutte le quantità presenti nella formula generale.
Suggerimento #2
Per calcolare l’integrale di una tangente è utile ricordare l’eguaglianza tra la tangente e…
Suggerimento #3
Ricordare la proprietà dei logaritmi tale che e^{\log(x)}=x.
Svolgimento
1. Dall’espressione generale della soluzione di un problema di Cauchy si trovano, per il problema assegnato, le seguenti quantità
a(x)=\tan(x)\\x_0=0\\y_0=1\\b(x)=\cos(x)
2. La quantità che ci manca prima di poter inserire i valori nell’espressione risolutiva è A(x), ovvero la primitiva di a(x) valutata tra 0 e x. Si tratta dunque di risolvere
A(x)=\int_{0}^{x}\tan(t)\,dt3. Che possiamo risolvere esprimendo la tangente come \sin(x)/\cos(x)
\int_{0}^{x}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dt4. A questo punto sarebbe utile poter effettuare la sostituzione \cos(x)=u per ottenere l’espressione du=-\sin(t)\,dt e semplificare l’espressione. Ci manca dunque il meno del seno, che possiamo però aggiungere artificialmente sia all’interno che all’esterno dell’integrale
\textcolor{00ffa1}{-}\int_{0}^{x}\textcolor{00ffa1}{-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dt5. Non ci resta ora che trovare i nuovi estremi di integrazione. Quando t=0 si ha u=1, mentre quando t=x si ottiene u=\cos(x). Inseriamo tali risultati all’interno dell’integrale precedente
-\int_{1}^{\cos(x)}\frac{1}{u}\,du6. Che ha primitiva immediata (il logaritmo) e non ci resta che valutarla negli estremi
-\left[\log|u|\right]_1^{\cos(x)}=-\left[\log|\cos(x)|-\underbrace{\log(1)}_{=\,\,0}\right]7. Da cui si ottiene che la soluzione dell’integrale è data la -\log|\cos(x)| in cui prendiamo soltanto la parte positiva del coseno (ricordare infatti che nel testo del problema era chiesto di studiare l’intervallo -\pi/2,\,\pi/2)
8. L’espressione -\log|\cos(x)|=-\log(\cos(x)) è inoltre equivalente alla seguente, dove viene distribuito il meno ricordando le proprietà dei logaritmi
-\log(\cos(x))=\log\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)9. A questo punto abbiamo tutti gli elementi per utilizzare la formula risolutiva. Inserendo le varie quantità otteniamo infatti
y(x)=\underbrace{\frac{1}{\exp\left({\displaystyle\log\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)}\right)}}_{(\clubs)}\left[1+\int_{0}^{x}\cos(t)\cdot \exp\left({\log\left(\displaystyle\frac{1}{\cos(t)}\right)}\right)\,dt\right]Dove è stata utilizzata la notazione \exp per indicare l’esponenziale e per fare in modo che l’espressione fosse più facile da leggere.
10. Per semplificare l’espressione possiamo ora riscrivere le espressioni esponenziali utilizzando il terzo suggerimento. Abbiamo dunque
\exp\left(\log\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)\right)=\frac{1}{\cos(x)}11. Nel caso (\clubs) si ha inoltre
\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\cos(x)}}=\cos(x)12. Dunque possiamo riscrivere l’equazione iniziale del paragrafo 9 e ottenere il risultato finale
y(x)=\cos(x)\left[1+\int_{0}^{x}\underbrace{\frac{\cos(t)}{\cos(t)}}_{=\,\,1}\,dt\right]=\cos(x)[1+x]Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.