Home » Analisi 1 » Limiti esame »
Esercizio limiti esame #1
Calcolare il seguente limite nella variabile x\in\R
\lim_{x\to+\infty}5x^2\left(e^{1/ex}-\log\left(e+\frac{1}{x}\right)\right)Suggerimento #1
Raccogliere la e all’interno dell’argomento del logaritmo.
Suggerimento #2
Ricordare la proprietà dei logaritmi che permette di riscrivere \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b).
Suggerimento #3
Provare a manipolare algebricamente l’espressione utilizzando la tecnica di sostituzione con t=1/ex. Ricordare che avendo effettuato un cambio di variabile non si sta più studiando il limite quando x\to +\infty, bensì…
Svolgimento
1. Come prima cosa è necessario raccogliere la e all’interno dell’argomento del logaritmo
\lim_{x\to+\infty}5x^2\left(e^{1/ex}-\log\left(e\left(1+\frac{1}{ex}\right)\right)\right)2. A questo punto possiamo utilizzare la proprietà dei logaritmi al suggerimento #2 che ci permette di dividere la e dal resto del logaritmo
\lim_{x\to+\infty}5x^2\left(e^{1/ex}-\left(\log(e)+\log\left(1+\frac{1}{ex}\right)\right)\right)3. Si può ora effettuare una sostituzione osservando che la quantità 1/ex compare più volte nell’espressione. Chiamando tale quantità t otteniamo che
t=\frac{1}{ex}\iff ex=\frac{1}{t}\iff x=\frac1{et}{}4. Poiché nel limite iniziale si sta studiando il comportamento quando x\to +\infty, adesso che la variabile di interesse è stata modificata dobbiamo capire in che valore dobbiamo studiare il limite
\text{Se }x\to+\infty\text{ allora }t=\frac{1}{``e\cdot+\infty"}\to05. Dunque il limite che dobbiamo ora studiare non è più verso +\infty, bensì verso 0. Riscriviamo l’espressione ottenuta
\lim_{t\to0}5\left(\frac{1}{et}\right)^2\left(e^t-\underbrace{\log(e)}_{1}-\log(1+t)\right)6. e svogliamo dei calcoli algebrici distribuendo il quadrato e sostituendo i valori noti
\lim_{t\to0}\frac{5}{e^2\,t^2}\left(e^t-1-\log(1+t)\right)7. Portiamo fuori dal limite le quantità costanti
\frac{5}{e^2}\,\lim_{t\to0}\frac{1}{t^2}\left(e^t-1-\log(1+t)\right)8. A questo punto possiamo affidarci agli sviluppi di Taylor per semplificare l’espressione. In particolare ci serviranno le approssimazioni dell’esponenziale e del logaritmo fino al secondo ordine. Si andranno dunque a sostituire i valori
e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o\left(t^2\right)\\\log(1+t)=0+t-\frac{t^2}{2}+o\left(t^2\right)9. dove bisogna ricordare che il logaritmo all’ordine “zero” ha valore nullo. Inserendo i valori all’interno dell’espressione
\frac{5}{e^2}\,\lim_{t\to0}\,\frac{1}{t^2}\left(\cancel{1}+t+\frac{t^2}{2}-\cancel{1}-\left(0+t-\frac{t^2}{2}\right)\right)10. e dopo aver cancellato i termini opposti si può distribuire il meno prima della parentesi interna
\frac{5}{e^2}\,\lim_{t\to0}\,\frac{1}{t^2}\left(\cancel{t}+\frac{t^2}{2}-\cancel{t}+\frac{t^2}{2}\right)11. da cui si possono, ancora una volta, cancellare i termini opposti per ottenere
\frac{5}{e^2}\,\underbrace{\lim_{t\to0}\,\frac{1}{\cancel{t^2}}\left(\cancel{2}\,\frac{\cancel{t^2}}{\cancel{2}}\right)}_{1}=\frac{5}{e^2}12. dove l’espressione del limite è ormai diventata banale (non c’è più la variabile), quindi il risultato del limite è proprio la parte costante che avevamo portato fuori dal limite nel passaggio 7.
Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.