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Esercizio limiti esame #10
Calcolare il limite al variare del parametro \alpha >0
\lim_{x\to0^+}\frac{\arctan(x)-\sin(x)+x^{10/3}\log(x)}{x^{\alpha}\left(1-\cos^2(x)\right)}Suggerimento #1
Approssimare con Taylor le quantità coinvolte nel limite espandendole fino al terzo ordine.
Suggerimento #2
x^{10/3}\approx x^{3.33}, quindi…
Suggerimento #3
Possiamo semplicemente dire che x^{3.33}=o\left(x^3\right), e, a maggiore ragione, moltiplicando x^{10/3} per il logaritmo si otterrà comunque un o-piccolo di x^3.
Svolgimento
1. Iniziamo espandendo al terzo ordine le quantità coinvolte nel limite. Partiamo con l’arcotangente
\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)2. Il seno
\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)3. Per quanto riguarda il x^{10/3}\log(x) vale ciò che è stato osservato nel secondo suggerimento. Poiché 10/3>3 l’intera quantità è un semplice o-piccolo di x^3, quindi possiamo semplicemente ignorarla nell’espansione del limite
4. Per il coseno al quadrato a denominatore possiamo espandere prima il coseno semplicemente, e successivamente elevare il risultato al quadrato
\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)elevando tale risultato al quadrato (si tratta di un quadrato di binomio, infatti l’o-piccolo possiamo semplicemente elevarlo al quadrato senza includerlo assieme agli altri termini, cancellando successivamente tutti i termini che vengono sovrastati dalla presenza dell’o\left(x^3\right) utilizzato nei passaggi precedenti).
\begin{aligned}\cos^2(x)&=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2+\left[o\left(x^2\right)\right]^2\\[10pt]&=1+\cancel{\frac{x^4}{2}}-\cancel{2}\cdot\frac{x^2}{\cancel{2}}+\cancel{o\left(x^4\right)}\\[10pt]&=1-x^2\end{aligned}5. Ricomponendo il limite con i risultati del passaggio 1, 2 e 4 si ottiene
\lim_{x\to0^+}\frac{x-\dfrac{x^3}{3}\textcolor{00ffa1}{-}\left(x-\dfrac{x^3}{3!}\right)+o\left(x^3\right)}{x^{\alpha}\left(1\textcolor{00ffa1}{-}\left(1-x^2\right)\right)}6. Distribuendo i meno evidenziati e cancellando i termini opposti
\lim_{x\to0^+}\frac{\cancel{x}-\dfrac{x^3}{3}-\cancel{x}+\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)}{x^{\alpha}\left(\cancel{1}-\cancel{1}+x^2\right)}7. Riordinando i termini e rimuovendo l’o-piccolo, che risulta ormai inutile
\lim_{x\to0^+}\frac{-\dfrac{1}{6}x^3}{x^{\alpha}\cdot x^2}8. Possiamo portare fuori dal limite i valori costanti e portare tutte le x a denominatore, per poter studiare il comportamento del limite al variare di \alpha>0
-\frac{1}{6}\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^{\alpha-1}}9. Dobbiamo ora capire qual è il valore di \alpha che rende interessante il denominatore della frazione. Tale valore è \alpha=1, con il quale l’esponente della x si annulla. Non si viene però a creare una forma indeterminata infatti si ha x\to0^+, quindi si viene ha (0^+)^{0}=1, proprio come farebbe 0.001^0=1. Nel caso \alpha=1 il limite ha un contributo unitario, e il risultato finale sarà dato dalla sola parte costante, ovvero -1/6.
10. Nel caso in cui \alpha<1 l’esponente della x diventa negativo, facendo “capovolgere” la frazione. Non essendoci più la x a denominatore, quando si ha x\to0^+ anche il risultato del limite sarà nullo, che annullerà di conseguenza anche il -1/6.
11. Nell’ultimo caso in cui \alpha>1 l’esponente della x rimarrà positivo, dunque la x a denominaotore. Poiché x\to0^+ si verrà a creare un termine nullo (ma comunque di segno positivo) a denominatore, che porterà il limite ad avere +\infty come risultato. Tale valore andrà però moltiplicato per la costante -1/6, che ne farà dunque cambiare il segno.
12. Riassumendo i risultati al variare di \alpha>0 si ha
-\frac{1}{6}\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^{\alpha-1}}=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}&\alpha=1\\[10pt]0&\alpha<1\\[10pt]-\infty&\alpha>1\end{cases}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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