Limite con sostituzioni asintotiche, o-piccolo, arcotangente e identità trigonometrica

Esercizio limiti esame #10

Calcolare il limite al variare del parametro $\alpha >0$

\lim_{x\to0^+}\frac{\arctan(x)-\sin(x)+x^{10/3}\log(x)}{x^{\alpha}\left(1-\cos^2(x)\right)}

Suggerimento #1

Approssimare con Taylor le quantità coinvolte nel limite espandendole fino al terzo ordine.

Suggerimento #2

$x^{10/3}\approx x^{3.33}$ , quindi…

Suggerimento #3

Possiamo semplicemente dire che $x^{3.33}=o\left(x^3\right)$ , e, a maggiore ragione, moltiplicando $x^{10/3}$ per il logaritmo si otterrà comunque un o-piccolo di $x^3$ .

Svolgimento

1. Iniziamo espandendo al terzo ordine le quantità coinvolte nel limite. Partiamo con l’arcotangente

\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)

2. Il seno

\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)

3. Per quanto riguarda il $x^{10/3}\log(x)$ vale ciò che è stato osservato nel secondo suggerimento. Poiché $10/3>3$ l’intera quantità è un semplice o-piccolo di $x^3$ , quindi possiamo semplicemente ignorarla nell’espansione del limite

4. Per il coseno al quadrato a denominatore possiamo espandere prima il coseno semplicemente, e successivamente elevare il risultato al quadrato

\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)

elevando tale risultato al quadrato (si tratta di un quadrato di binomio, infatti l’o-piccolo possiamo semplicemente elevarlo al quadrato senza includerlo assieme agli altri termini, cancellando successivamente tutti i termini che vengono sovrastati dalla presenza dell’ $o\left(x^3\right)$ utilizzato nei passaggi precedenti).

\begin{aligned}\cos^2(x)&=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2+\left[o\left(x^2\right)\right]^2\\[10pt]&=1+\cancel{\frac{x^4}{2}}-\cancel{2}\cdot\frac{x^2}{\cancel{2}}+\cancel{o\left(x^4\right)}\\[10pt]&=1-x^2\end{aligned}

5. Ricomponendo il limite con i risultati del passaggio 1, 2 e 4 si ottiene

\lim_{x\to0^+}\frac{x-\dfrac{x^3}{3}\textcolor{00ffa1}{-}\left(x-\dfrac{x^3}{3!}\right)+o\left(x^3\right)}{x^{\alpha}\left(1\textcolor{00ffa1}{-}\left(1-x^2\right)\right)}

6. Distribuendo i meno evidenziati e cancellando i termini opposti

\lim_{x\to0^+}\frac{\cancel{x}-\dfrac{x^3}{3}-\cancel{x}+\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)}{x^{\alpha}\left(\cancel{1}-\cancel{1}+x^2\right)}

7. Riordinando i termini e rimuovendo l’o-piccolo, che risulta ormai inutile

\lim_{x\to0^+}\frac{-\dfrac{1}{6}x^3}{x^{\alpha}\cdot x^2}

8. Possiamo portare fuori dal limite i valori costanti e portare tutte le $x$ a denominatore, per poter studiare il comportamento del limite al variare di $\alpha>0$

-\frac{1}{6}\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^{\alpha-1}}

9. Dobbiamo ora capire qual è il valore di $\alpha$ che rende interessante il denominatore della frazione. Tale valore è $\alpha=1$ , con il quale l’esponente della $x$ si annulla. Non si viene però a creare una forma indeterminata infatti si ha $x\to0^+$ , quindi si viene ha $(0^+)^{0}=1$ , proprio come farebbe $0.001^0=1$ . Nel caso $\alpha=1$ il limite ha un contributo unitario, e il risultato finale sarà dato dalla sola parte costante, ovvero $-1/6$ .

10. Nel caso in cui $\alpha<1$ l’esponente della $x$ diventa negativo, facendo “capovolgere” la frazione. Non essendoci più la $x$ a denominatore, quando si ha $x\to0^+$ anche il risultato del limite sarà nullo, che annullerà di conseguenza anche il $-1/6$ .

11. Nell’ultimo caso in cui $\alpha>1$ l’esponente della $x$ rimarrà positivo, dunque la $x$ a denominaotore. Poiché $x\to0^+$ si verrà a creare un termine nullo (ma comunque di segno positivo) a denominatore, che porterà il limite ad avere $+\infty$ come risultato. Tale valore andrà però moltiplicato per la costante $-1/6$ , che ne farà dunque cambiare il segno.

12. Riassumendo i risultati al variare di $\alpha>0$ si ha

-\frac{1}{6}\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^{\alpha-1}}=\begin{cases}-\dfrac{1}{6}&\alpha=1\\[10pt]0&\alpha<1\\[10pt]-\infty&\alpha>1\end{cases}

Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.

Quanto difficile è stato l’esercizio? (5 è il massimo della difficoltà)

[Total: 0 Average: 0]

Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.

Correlati

Questa pagina è stata utile?

SìNo

Correlati

Altri esercizi