Limite con logaritmo e seno

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A parole: Calcolare il limite per x che tende a zero da destra del logaritmo del seno di x, fratto il logaritmo di x.

Testo formato WF: lim_(x->0^+) log(sin(x))/log(x)

Testo formato latex: \lim_{x\to0^+}\dfrac{\log(\sin(x))}{\log(x)}

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Esercizio limiti introduzione #2

Calcolare

\lim_{x\to0^+}\dfrac{\log(\sin(x))}{\log(x)}

Suggerimento #1

Poiché stiamo studiando delle quantità che tendono a $0$ quando $x\to0^+$ possiamo usare gli sviluppi di Taylor notevoli per semplificare l’espressione.

Suggerimento #2

Sviluppare dapprima il seno e, una volta espanso, provare a trovare un modo per espandere anche il logaritmo. Può essere utile ricordare la seguente proprietà dei logaritmi

\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)

Suggerimento #3

Ricordare che il limite (non importa in quale variabile) di una costante, qualunque essa sia, è la costante stessa.

Svolgimento

1. Poiché stiamo studiando un limite con un seno come argomento del logaritmo e la quantità $x$ in argomento al seno stesso tende a $0$ quando $x\to0^+$ possiamo applicare gli sviluppi di Taylor per espandere tale funzione. Ci fermiamo al terzo ordine

\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)

2. La quantità appena trovata è in realtà da inserire all’interno dell’argomento del logaritmo, dunque dobbiamo studiare

\log\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)\right)

3. Raccogliendo a fattore comune la $x$

\log\left(x\left(1-\dfrac{x^2}{3!}\right)+o\left(x^3\right)\right)

4. Da tale espressione possiamo ignorare (concettualmente) la presenza dell’o-piccolo e utilizzare la proprietà dei logaritmi del secondo suggerimento per riscrivere la funzione come

\log(x)+\log\left(1+\dfrac{-x^2}{3!}\right)+o\left(x^3\right)

5. Riconoscendo ora nel logaritmo la possibilità di espanderlo con Taylor possiamo scrivere, fermandoci ancora una volta al terzo ordine (anche se di fatto il logaritmo presenta $x^2$ come termine di grado maggiore)

\log(x)+\left(-\dfrac{x^2}{3!}\right)+o\left(x^3\right)

6. Reinserendo le quantità espanse all’interno del limite

\lim_{x\to0^+}\dfrac{\log(x)-\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}

7. Dal numeratore possiamo ora raccogliere il logaritmo

\lim_{x\to0^+}\dfrac{\cancel{\log(x)}\left(1-\dfrac{\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}\right)}{\cancel{\log(x)}}

8. L’espressione da studiare è dunque

\lim_{x\to0^+}\left(1-\dfrac{\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}\right)

9. Dal terzo suggerimento possiamo riscrivere tale quantità come

\underbrace{\lim_{x\to0^+}1}_{\displaystyle=1}-\underbrace{\lim_{x\to0^+}\dfrac{\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}}_{\displaystyle(\clubs)}

10. Possiamo riscrivere $(\clubs)$ come

\lim_{x\to0^+}\dfrac{x^2}{3!}\cdot\dfrac{1}{\log(x)}=0

11. Che possiamo semplicemente sostituire con $0$ dalla prevalenza dell’ $x^2$ sul logaritmo.

12. Il risultato finale è dunque soltanto la parte costante del limite, ovvero $\fbox{1}$ .

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