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Esercizio limiti introduzione #5
Calcolare
\lim_{x\to+\infty}\log(\log(x))\cdot e^{-x}Suggerimento #1
Vogliamo applicare de l’Hopital: bisogna trovare un modo per esprimere la funzione proposta in una forma appropriata per usare tale teorema.
Suggerimento #2
Portando l’esponenziale a denominatore troviamo la forma indeterminata infinito/infinito, dunque possiamo procedere al calcolo delle derivate.
Suggerimento #3
Ricordare come si calcola la derivata della funzione composta.
Suggerimento #3
Dobbiamo applicare tale regola alla quantità a numeratore \log(\log(x)).
Svolgimento
1. Come prima cosa vogliamo riportare l’espressione proposta in un’altra equivalente che ci permetta di utilizzare il teorema di de l’Hopital. Portiamo dunque l’esponenziale a denominatore
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log(\log(x))}{e^x}\to\dfrac{\infty}{\infty}2. Utilizzando ora la nomenclatura usata nella pagina sul calcolo della derivata della funzione composta abbiamo
f(x)=\log(x)\\[10pt]g(x)=\log(x)
3. Da cui otteniamo le derivate ricordando come si calcola la derivata del logaritmo
f'(x)=\dfrac{1}{x}\\[10pt]g'(x)=\dfrac{1}{x}4. Possiamo ora ricomporre la funzione composta
f(g(x))=f'(g(x))g'(x)=\dfrac{1}{\log(x)}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\log(x)}5. Per quando riguarda il denominatore invece è sufficiente ricordare che la derivata di e^x è ancora una volta e^x, dunque arriviamo alla nuova espressione del limite che dobbiamo risolvere
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x\log(x)}}{e^x}6. Riscrivendo la frazione come una moltiplicazione
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x\log(x)}\cdot\dfrac{1}{e^x}=\fbox{0}da cui otteniamo il risultato finale ricordando che tutte le quantità a denominatore tendono verso +\infty quando x\to+\infty, dunque annullano il numeratore unitario (costante) portando l’intera frazione a 0.
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