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Esercizio limiti introduzione #4
Calcolare
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+3}{x-1}\right)^{\displaystyle x+3}Suggerimento #1
Il limite si può risolvere tramite il limite notevole di Nepero.
Suggerimento #2
Provare a ritrovare la seguente quantità nella nuova espressione del limite che bisogna calcolare. Fare particolare attenzione agli esponenti
\left(1+\dfrac{4}{x-1}\right)Suggerimento #3
Il numeratore della frazione è esprimibile in maniera equivalente come
\left(\dfrac{x-1+4}{x-1}\right)Trovare un modo per ricondursi alla quantità del secondo suggerimento. Una tale riscrittura potrebbe essere utile anche nell’esponente…
Suggerimento #4
Ricordare la proprietà degli esponenti tramite cui si ottiene
a^{\displaystyle b+c}=a^{\displaystyle b}\cdot a^{\displaystyle c}Svolgimento
1. Come prima cosa esprimiamo la quantità al numeratore della frazione come
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x-1+4}{x-1}\right)^{\displaystyle x+3}2. Dividendo ora la frazione e riscrivendo l’esponente
\lim_{x\to+\infty}\left(\underbrace{\dfrac{x-1}{x-1}}_{\displaystyle=1}+\dfrac{4}{x-1}\right)^{\displaystyle x-1+4}3. Abbiamo trovato una forma quasi corretta per applicare il limite di Nepero generalizzato
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{4}{x-1}\right)^{\displaystyle x-1+4}4. Ricordando la proprietà degli esponenti del quarto suggerimento possiamo dividere l’esponente in due diverse parti come di seguito
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{4}{x-1}\right)^{\displaystyle x-1}\cdot\underbrace{\left(1+\dfrac{4}{x-1}\right)^{\displaystyle4}}_{\displaystyle(\spades)}5. A questo punto possiamo notare che la quantità (\spades) è semplicemente unitaria, infatti \dfrac{4}{x-1}\to0 quando x\to+\infty e si avrebbe semplicemente 1^4=1
6. Per quanto riguarda la prima parentesi invece abbiamo esattamente l’espressione del limite di Nepero generalizzato che risolviamo facilmente
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{4}{x-1}\right)^{\displaystyle x-1}=\fbox{$\displaystyle e^{\displaystyle4}$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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