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Esercizio limiti esame #6
Calcolare il limite
\lim_{x\to0^+}\frac{e^{-1/x^2}\cos(\log(x))+\cos(\arctan(x))-e^{-x^2/2}}{\log(1+x^2)-\sin(x^2)}Suggerimento #1
Sviluppare con Taylor le quantità presenti nell’espressione fino al quarto ordine.
Suggerimento #2
La quantità \cos(\log(x)) è limitata da \pm1, poiché e^{-1/x^2}\to0 quando x\to0^+ possiamo ricordare la proprietà
\text{(funzione infinitesima)}\cdot\text{(funzione limitata)}=0Suggerimento #3
Se si hanno problemi con l’espansione di \cos(\arctan(x)) sostituire tale quantità con
\cos(\arctan(x))=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+o\left(x^4\right)e provare a risolvere comunque il limite controllando in seguito come ottenere il predetto risultato.
Svolgimento
1. Diamo un nome alle varie parti del limite
\lim_{x\to0^+}\frac{\overbrace{e^{-1/x^2}}^{\displaystyle(1)}\cdot\overbrace{\cos(\log(x))}^{\displaystyle(2)}+\overbrace{\cos(\arctan(x))}^{\displaystyle(3)}-\overbrace{e^{-x^2/2}}^{\displaystyle(4)}}{\underbrace{\log(1+x^2)}_{\displaystyle(5)}-\underbrace{\sin(x^2)}_{\displaystyle(6)}}2. Notiamo che per la quantità (1) vale
\begin{aligned}\lim_{x\to0^+}e^{-1/x^2}&=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{e^{1/x^2}}\\[10pt]&=\frac{1}{e^{1/0^+}}\\[10pt]&=\frac{1}{e^{+\infty}}\to0\end{aligned}3. Poiché la quantità (2) è limitata da \pm1
possiamo semplicemente sostituire la quantità (1)\cdot(2) con 0 nell’espressione semplificata del limite ricordando la proprietà riportata nel secondo suggerimento.
4. Analizziamo ora la parte (3) per capire come ottenere l’uguaglianza del terzo suggerimento. Sviluppiamo prima la funzione coseno tramite Taylor
\cos(\arctan(x))=1-\frac{\arctan^2(x)}{2}+\frac{\arctan^4(x)}{24}+o\left(x^4\right)5. A questo punto sviluppiamo anche l’arcotangente ricordando che \arctan^2(\alpha)=(\arctan(\alpha))^2. L’espressione precedente diventa dunque
1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)\right)^{\textcolor{00ffa1}{2}}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^4\right)6. Da cui possiamo svolgere il quadrato evidenziato e cancellare tutti i termini che superano l’o\left(x^4\right)
1-\textcolor{00ffa1}{
\frac{1}{2}}\left(x^2+\cancel{\frac{x^6}{9}}-\frac{2}{3}x^4+\cancel{o\left(x^6\right)}\right)+\frac{x^4}{24}+o\left(x^4\right)7. Distribuendo il fattore 1/2
1-\frac{1}{2}x^2+\frac{x^4}{3}+
\frac{x^4}{24}+o\left(x^4\right)8. E sommando i termini simili si ottiene una forma approssimata per (3)
1-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+o\left(x^4\right)9. Passiamo ora allo sviluppo di (4) tramite Taylor, dove però sarà sufficiente fermarsi al secondo ordine dell’esponenziale che contiene già nel suo argomento un x^2 che elevato al quadrato porterà ad avere x^4, come il nostro valore di o-piccolo
\begin{aligned}e^{-x^2/2}&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{\left(-x^2/2\right)^{\textcolor{00ffa1}{2}}}{
2}\\[10pt]&=1-\frac{x^2}{2}+\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{x^4}{4}}\\[10pt]&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)\end{aligned}10. Analizzando (5) si avrà un comportamento della funzione simile a quello appena descritto, dove sarà sufficiente approssimare il logaritmo al secondo ordine per ottenere i valori che ci servono, cioè gli o-piccolo di x^4
\begin{aligned}\log\left(1+x^2\right)&=x^2-\frac{\left(x^2\right)^{\textcolor{00ffa1}{2}}}{2}\\[10pt]&=x^2-\frac{x^4}{2}+o\left(x^4\right)\end{aligned}11. Analizzando invece (6) si ottiene, ancora una volta espandendo al secondo ordine e cancellando i termini “mangiati” dalla presenta dell’o-piccolo al quarto ordine
\sin\left(x^2\right)=x^2-\cancel{\frac{\left(x^2\right)^3}{3!}}=x^2+o\left(x^4\right)12. Ricomponendo il limite originale tramite i risultati ottenuti nei paragrafi 3, 8, 9, 10 e 11 dobbiamo risolvere
\lim_{x\to0^+}\frac{0+1-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{3}{8}x^4+o\left(x^4\right)\textcolor{00ffa1}{-}\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)\right)}{x^2-\displaystyle\frac{x^4}{2}+o\left(x^4\right)\textcolor{00ffa1}{-}\left(x^2+o\left(x^4\right)\right)}13. Distribuendo i meno evidenziati
\lim_{x\to0^+}\frac{\cancel{1}-\displaystyle\cancel{\frac{1}{2}x^2}+\displaystyle\frac{3}{8}x^4++o\left(x^4\right)-\cancel{1}+\displaystyle\cancel{\frac{1}{2}x^2}-\displaystyle\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)}{\cancel{x^2}-\displaystyle\frac{x^4}{2}+o\left(x^4\right)-\cancel{x^2}+o\left(x^4\right)}14. Cancellando i termini opposti e rimuovendo la scrittura esplicita degli o-piccoli si ottiene
\lim_{x\to0^+}\frac{\displaystyle\frac{3}{8}x^4-\frac{1}{8}x^4}{-\displaystyle\frac{x^4}{2}}15. Da cui possiamo cancellare l’x^4 che è ripetuto in ogni termine per ottenere la soluzione finale rimuovendo a tal punto l’operatore limite—che risulta effettivamente inutile
\frac{\displaystyle\frac{3}{8}-\frac{1}{8}}{\displaystyle-\frac{1}{2}}=\fbox{$-\displaystyle\frac{1}{2}$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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