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Esercizio limiti introduzione #3
Calcolare
\lim_{x\to+\infty}\left(\arctan(x)-\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot xSuggerimento #1
Per x\to+\infty\arctan(x)\to\dfrac{\pi}{2} dunque \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=0 e si trova una forma indeterminata del tipo “0\cdot+\infty". Provare a manipolare algebricamente l’espressione per ottenere una forma indeterminata del tipo “\dfrac{0}{0}". Possiamo ora applicare…
Suggerimento #2
Avendo una forma indeterminata del tipo “\dfrac{0}{0}" possiamo applicare il teorema di de l’Hopital
Suggerimento #3
Ricordare come calcolare la derivata dell’arcotangente
Suggerimento #4
Ricordare come calcolare la derivata di 1/x
Svolgimento
1. Come indicato nel primo suggerimento possiamo ricondurre la forma indeterminata a 0/0 portando la x che moltiplica la parentesi al numeratore, dividendo cioè per 1/x
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\overbrace{\arctan(x)-\dfrac{\pi}{2}}^{\displaystyle N(x)}}{\underbrace{\dfrac{1}{x}}_{\displaystyle D(x)}}\to\dfrac{0}{0}2. Possiamo ora applicare de l’Hopital. Ricordando l’espressione della derivata dell’arcotangente e che la derivata di una costante è nulla troviamo
\dfrac{d}{dx}[N(x)]=\dfrac{d}{dx}\left[\arctan(x)-\dfrac{\pi}{2}\right]=\dfrac{1}{x^2+1}3. Mentre per il denominatore dobbiamo ricordare come si calcola la derivata di 1/x per trovare che
\dfrac{d}{dx}[D(x)]=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{x}\right]=-\dfrac{1}{x^2}4. Ricomponendo numeratore e denominatore
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^2+1}}{-\dfrac{1}{x^2}}5. Possiamo esprimere la frazione più grande come una moltiplicazione
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2+1}\cdot \left(-x^2\right)6. Poiché per x\to+\infty la funzione x^2+1 si comporta semplicemente come come x^2 possiamo scrivere che
x^2+1\sim x^2
7. E risolvere il limite seguente
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}}=\fbox{1}E trovare immediatamente il risultato
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