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Nello studio dei collegamenti tra le cause e gli effetti dobbiamo distinguere due importanti concetti:
- Osservazioni
- Interventi
In una situazione come la seguente
Se mi baso soltanto sul valore di Xe Y senza considerare Z posso soltanto vederne la loro correlazione, senza però capire le motivazioni per tale correlazione.
Soltanto tramite l’osservazione di Z siamo in grado di capire il motivo della correlazione tra le variabili.
Un intervento invece viene ottenuto quando condizioniamo il risultato Y=y su un intervento X=x. Indichiamo tale intervento con tramite la funzione do come di seguito
do(X=x)
forzando in questo modo il valore di Xsull’insieme Y. Di fatto, un intervenendo su X modifica le equazioni SCM associate al problema rimuovendo le cause entranti nella variabile su cui stiamo effettuando l’intervento.
Per esempio, considerando il seguente grafo
Un intervento su S si traduce nella rimozione del ramo cancellato in rosso. Si passa dunque dalle SCM sulla sinistra a quelle sulla destra, dove sono state rimosse le cause entranti in S.
\begin{cases}f_C:C=U_1\\f_R:R=C\wedge U_2\\f_S:S=C\vee U_3\\f_W:W=R\vee S\vee U_4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}f_C:C=U_1\\f_R:R=C\wedge U_2\\f_S:S=\text{True}\\f_W:W=R\vee S\vee U_4\end{cases}Adjustment formula
Per calcolare il valore dell’operatore do(\cdot) abbiamo bisogno di tradurlo in una forma in cui effettivamente siamo in grado di calcolarne il valore.
Per esempio, dopo essere intervenuti sul grafo di destra per ottenere quello di sinistra
si avrà la seguente uguaglianza
P(y\mid do(x))=P_m(y\mid x)
Dove abbiamo indicato con P_m la probabilità all’interno della rete manipolata, ovvero la rete dopo aver fatto l’intervento.
Nota bene: le altre probabilità possono essere semplicemente calcolate nella maniera normale, infatti si ha
P_m(z)=P(z)\\ P_m(y \mid x,\,z)=P(y \mid x,\,z)
Inoltre, possiamo esprimere la quantità P_m(y\mid x) come
\tag{$\spades$}P_m(y\mid x)=\sum_{z\in\Lambda}P(y \mid x,\,z)P(z)dove abbiamo indicato con \Lambda l’insieme dei genitori di X.
La formula indicata in (\spades) prende effettivamente il nome di adjustment formula.