Integrazione per parti - Esercizi STEM

Siano

$f$ , $g$ due funzioni derivabili su un intervallo $I$

Vale

\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx

Esempio: calcolare l’integrale indefinito

\int xe^{2x}\,dx

Soluzione

1. Possiamo chiamare le quantità presenti nell’espressione nel modo seguente:

\int\underbrace{x}_{\displaystyle g(x)}\cdot\underbrace{e^{2x}}_{\displaystyle f'(x)}\,dx

2. Da cui possiamo integrare $f'(x)$ per ottenere $f(x)$ e derivare $g(x)$ per ottenere $g'(x)$

f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}\quad g'(x)=1

Si guardi l’esempio presente nella pagina sull’integrazione per sostituzione per i passaggi necessari a ottenere $f(x)$ , mentre la derivazione di $g(x)$ è banale.

3. Possiamo a questo punto utilizzare la formula generale e sostituire in essa le quantità che abbiamo appena calcolato

\int xe^{2x}\,dx=\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{\displaystyle f(x)}\cdot\underbrace{x}_{\displaystyle g(x)}-\int\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{\displaystyle f(x)}\cdot\underbrace{1}_{\displaystyle g'(x)}\,dx

Che possiamo ora integrare come nel passaggio 2 per ottenere il risultato finale.

Nota bene: l’integrazione per parti è spesso utile quando ci sono delle funzioni che portano a delle costanti dopo essere state derivate (talvolta sono necessarie più di una derivazione). È questo il caso, per esempio, della $x$ dell’esercizio d’esempio. Dopo una sola derivazione la $x$ diventa costante e non complica più l’espressione dell’integrale. Nel caso in cui fosse stata presente $x^2$ ci sarebbero però volute due derivazioni prima di rendere la funzione costante

x^2\to2x\to2

Dunque avremmo avuto bisogno di due integrazioni per parti consecutive per semplificare l’espressione.

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