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Per uno dei nuovi integrali trovati dopo aver semplificato la frazione bisogna decomporre il numeratore tramite il metodo dei fratti semplici.
Suggerimento #4
Saranno infine necessarie due ulteriori sostituzioni con u=2t±2.
Svolgimento
1. Semplifichiamo la funzione integranda tramite la sostituzione del primo suggerimento x+1=t2, dalla quale si ottiene x=t2−1 e di conseguenza dx=dtd[t2+1]=2tdt
∫2(t2−1)+1t2−1+t2⋅2tdt
2. Semplificando il t2 a numeratore e distribuendo la moltiplicazione con il 2 a denominatore
∫2t2−2+1(t2−1+t)2tdt
3. Svolgendo la moltiplicazione a numeratore
∫2t2−12t3+2t2−2tdt
4. Poiché stiamo integrando una frazione in cui il grado del numeratore è maggiore rispetto a quello del denominatore, tramite il metodo d’integrazione per funzioni razionali dobbiamo eseguire la divisione tra il polinomio a numeratore e quello a denominatore
2t3+2t2−2t∣2t2−12t3−t∣t+12t2−t2t2−1−t+1
5. Ottenendo così che il polinomio 2t3+2t2−2t è divisibile per i due fattori 2t2−1 e t+1 con un resto di −t+1
2t3+2t2−2t=(2t2−1)⋅(t+1)+(−t+1)
6. Dividendo entrambi i termini per 2t2−1 ricomponiamo, a sinistra dell’uguale, la frazione originale che vogliamo integrare. Abbiamo dunque trovato una sua forma equivalente che utilizzeremo nel resto dei calcoli
11. Per l’integrale (3) abbiamo invece bisogno di lavorare di più. Utilizzeremo il metodo dei fratti semplici notando che il denominatore può essere riscritto come
2t2−1=(2+1)(2−1)
12. Dunque dovremo trovare due numeri A e B che soddisfino
2t2−1−t+1=2t+1A+2t−1B
13. Portando a denominatore comune la parte a destra dell’uguale
2t2−1−t+1=(2t+1)⋅(2t−1)A(2t−1)+B(2t+1)
14. Da cui possiamo cancellare i denominatori per l’uguaglianza del paragrafo 11 e svolgere le moltiplicazioni della parte di destra, ottenendo
−t+1=A2t−A+B2t+B
15. Eguagliando i termini simili
{A2t+B2t=−t−A+B=1→{A2+B2=−1−A+B=1
16. Per trovare i valori di A e B dobbiamo risolvere il sistema che non presenta alcuna particolarità (dunque non riportiamo i passaggi) e può essere risolto in maniera standard per trovare
⎩⎨⎧A=22−1−2B=222−1
17. L’uguaglianza del paragrafo 12 diventa dunque
2t2−1−t+1=2t+122−1−2+2t−1222−1
18. Che dovremo integrare
∫2t+122−1−2+2t−1222−1dt
19. Riscrivendo le “doppie frazioni” come delle moltiplicazioni
∫[22−2−1⋅2t+11+222−1⋅2t−11]dt
20. Svolgendo le moltiplicazioni
∫[−21⋅2t+22+1+21⋅2t−22−1]dt
21. Tramite linearità dell’integrale possiamo semplificare ulteriormente l’espressione, portando inoltre fuori dal simbolo di integrale tuti i termini costati
(a)−22+1∫2t+21dt+(b)22−1∫2t−21dt
22. Risolviamo prima la parte (a). Per poter utilizzare la sostituzione del quarto suggerimento abbiamo bisogno di aggiungere un fattore 2 all’interno dell’integrale, bilanciato naturalmente da un fattore 1/2
21(−22+1)∫2⋅2t+21dt
23. Possiamo ora sostituire 2t+2=u, da cui otteniamo du=dtd[2t+2]=2dt
−42−1∫u1du
24. A questo punto possiamo trovare banalmente una primitiva di 1/u e riportarci tale risultato nella variabile t
−42−1⋅log(u)+cu=2t+2=−42−1⋅log(2t+2)+c
25. Dobbiamo ora svolgere dei passaggi simili per il calcolo dell’integrale (b). Aggiungiamo ancora una volta un fattore 2 all’interno dell’integrale da 1/2
21⋅22−1∫2⋅2t−21dt
26. Sostituendo con u=2t−2 e du=dtd[2t−2]=2dt
42−1∫u1du
27. Che ha la stessa primitiva del paragrafo 24, valutata però in u=2t−2, ovvero
42−1⋅log(2t−2)+c
28. È giunto ora il momento di ricomporre tutti i pezzi dell’integrale iniziale calcolati un po’ alla volta. L’integrale assegnato in partenza è infatti costituito dai sottointegrali (1), (2) e (3), dove l’ultimo tra essi è composto a sua volta dai sottointegrali (a) e (b). Per ottenere il risultato finale dovremo quindi sommare tutti i risultati trovati nei paragrafi 9, 10, 24 e 27, che ci portano a ottenere (le costanti c le raggruppiamo per semplicità in una stessa costante col medesimo nome)
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