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Integrale indefinito con radicale e divisioni tra polinomi
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Home » Analisi 1 » Integrali esame »

Esercizio integrali esame #10

Calcolare il valore del seguente integrale

x+x+12x+1dx\int\frac{x+\sqrt{x+1}}{2x+1}\,dx
Suggerimento #1

Semplificare l’integrale tramite la sostituzione x+1=t2x+1=t^2.

Suggerimento #2

Dopo la sostituzione si ottiene una frazione in cui il numeratore è di grado maggiore del denominatore. Dobbiamo usare il metodo d’integrazione per funzioni razionali.

Suggerimento #3

Per uno dei nuovi integrali trovati dopo aver semplificato la frazione bisogna decomporre il numeratore tramite il metodo dei fratti semplici.

Suggerimento #4

Saranno infine necessarie due ulteriori sostituzioni con u=2t±2u=2t\pm\sqrt{2}.

Svolgimento

1. Semplifichiamo la funzione integranda tramite la sostituzione del primo suggerimento x+1=t2x+1=t^2, dalla quale si ottiene x=t21x=t^2-1 e di conseguenza dx=ddt[t2+1]=2tdtdx=\dfrac{d}{dt}\left[t^2+1\right]=2t\,dt

t21+t22(t21)+12tdt\int\frac{t^2-1+\sqrt{t^2}}{2\left(t^2-1\right)+1}\cdot2t\,dt

2. Semplificando il t2\sqrt{t^2} a numeratore e distribuendo la moltiplicazione con il 22 a denominatore

(t21+t)2t2t22+1dt\int\frac{\left(t^2-1+t\right)2t}{2t^2-2+1}\,dt

3. Svolgendo la moltiplicazione a numeratore

2t3+2t22t2t21dt\int\frac{2t^3+2t^2-2t}{2t^2-1}\,dt

4. Poiché stiamo integrando una frazione in cui il grado del numeratore è maggiore rispetto a quello del denominatore, tramite il metodo d’integrazione per funzioni razionali dobbiamo eseguire la divisione tra il polinomio a numeratore e quello a denominatore

2t3+2t22t2t212t3  t  t+12t2t2t21t+1\begin{aligned}&2t^3+2t^2-2t\hspace{0.6cm}\mid 2t^2-1\\&2t^3\hspace{0.8cm}\,\,-t\hspace{0.6cm}\,\,\mid t+1\hspace{0.4cm}\\&\overline{\hspace{0.9cm}2t^2-t\hspace{0.2cm}\hspace{0.6cm}}\\&\hspace{0.9cm}2t^2\hspace{0.6cm}\,-1\\&\overline{\hspace{1.6cm}-t+1}\end{aligned}

5. Ottenendo così che il polinomio 2t3+2t22t2t^3+2t^2-2t è divisibile per i due fattori 2t212t^2-1 e t+1t+1 con un resto di t+1-t+1

2t3+2t22t=(2t21)(t+1)+(t+1)2t^3+2t^2-2t=\left(\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}\right)\cdot(t+1)+(-t+1)

6. Dividendo entrambi i termini per 2t21\textcolor{00ffa1}{2t^2-1} ricomponiamo, a sinistra dell’uguale, la frazione originale che vogliamo integrare. Abbiamo dunque trovato una sua forma equivalente che utilizzeremo nel resto dei calcoli

2t3+2t22t2t21=(2t21)(t+1)2t21+t+12t21=t+1+t+12t21\begin{aligned}\frac{2t^3+2t^2-2t}{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}&=\frac{\cancel{\left(\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}\right)}\cdot(t+1)}{\cancel{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}}+\frac{-t+1}{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}\\[10pt]&=t+1+\frac{-t+1}{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}\end{aligned}

7. L’integrale del paragrafo 3 è dunque equivalente al seguente

(t+1+t+12t21)dt\int\left(t+1+\frac{-t+1}{2t^2-1}\right)\,dt

8. Che possiamo riscrivere utilizzando la linearità dell’integrale

tdt(1)+dt(2)+t+12t21dt(3)\underbrace{\int t\,dt}_{\displaystyle(1)}+\underbrace{\int dt}_{\displaystyle(2)}+\underbrace{\int\frac{-t+1}{2t^2-1}\,dt}_{\displaystyle(3)}

9. L’integrale (1)(1) si risolve banalmente tramite

(1)=t22+c(1)=\frac{t^2}{2}+c

10. E similmente per l’integrale (2)(2) si ha

(2)=t+c(2)=t+c

11. Per l’integrale (3)(3) abbiamo invece bisogno di lavorare di più. Utilizzeremo il metodo dei fratti semplici notando che il denominatore può essere riscritto come

2t21=(2+1)(21)2t^2-1=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)

12. Dunque dovremo trovare due numeri AA e BB che soddisfino

t+12t21=A2t+1+B2t1\frac{-t+1}{2t^2-1}=\frac{A}{\sqrt{2}t+1}+\frac{B}{\sqrt{2}t-1}

13. Portando a denominatore comune la parte a destra dell’uguale

t+12t21=A(2t1)+B(2t+1)(2t+1)(2t1)\frac{-t+1}{2t^2-1}=\frac{A(\sqrt{2}t-1)+B(\sqrt{2}t+1)}{(\sqrt{2}t+1)\cdot(\sqrt{2}t-1)}

14. Da cui possiamo cancellare i denominatori per l’uguaglianza del paragrafo 11 e svolgere le moltiplicazioni della parte di destra, ottenendo

t+1=A2tA+B2t+B-t+1=A\sqrt{2}t-A+B\sqrt{2}t+B

15. Eguagliando i termini simili

{A2t+B2t=tA+B=1{A2+B2=1A+B=1\begin{cases}A\sqrt{2}\cancel{t}+B\sqrt{2}\cancel{t}=-\cancel{t}\\-A+B=1\end{cases}\to\begin{cases}A\sqrt{2}+B\sqrt{2}=-1\\-A+B=1\end{cases}

16. Per trovare i valori di AA e BB dobbiamo risolvere il sistema che non presenta alcuna particolarità (dunque non riportiamo i passaggi) e può essere risolto in maniera standard per trovare

{A=1222B=2122\begin{cases}A=\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\[10pt]B=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\end{cases}

17. L’uguaglianza del paragrafo 12 diventa dunque

t+12t21=12222t+1+21222t1\frac{-t+1}{2t^2-1}=\frac{\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t+1}+\frac{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t-1}

18. Che dovremo integrare

[12222t+1+21222t1]dt\int\left[\frac{\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t+1}+\frac{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t-1}\right]\,dt

19. Riscrivendo le “doppie frazioni” come delle moltiplicazioni

[212212t+1+212212t1]dt\int\left[\frac{-\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}t+1}+\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}t-1}\right]\,dt

20. Svolgendo le moltiplicazioni

[122+12t+2+12212t2]dt\int\left[-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2t+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2t-\sqrt{2}}\right]\,dt

21. Tramite linearità dell’integrale possiamo semplificare ulteriormente l’espressione, portando inoltre fuori dal simbolo di integrale tuti i termini costati

2+1212t+2dt(a)+21212t2dt(b)\underbrace{-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\int\frac{1}{2t+\sqrt{2}}\,dt}_{\displaystyle(a)}+\underbrace{\frac{\sqrt{2}-1}{2}\int\frac{1}{2t-\sqrt{2}}\,dt}_{\displaystyle(b)}

22. Risolviamo prima la parte (a)(a). Per poter utilizzare la sostituzione del quarto suggerimento abbiamo bisogno di aggiungere un fattore 2\textcolor{00ffa1}{2} all’interno dell’integrale, bilanciato naturalmente da un fattore 1/2\textcolor{00ffa1}{1/2}

12(2+12)212t+2dt\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\left(-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\right)\int\textcolor{00ffa1}{2}\cdot\frac{1}{2t+\sqrt{2}}\,dt

23. Possiamo ora sostituire 2t+2=u2t+\sqrt{2}=u, da cui otteniamo du=ddt[2t+2]=2dtdu=\dfrac{d}{dt}\left[2t+\sqrt{2}\right]=2\,dt

2141udu-\frac{\sqrt{2}-1}{4}\int\frac{1}{u}\,du

24. A questo punto possiamo trovare banalmente una primitiva di 1/u1/u e riportarci tale risultato nella variabile tt

214log(u)+cu=2t+2=214log(2t+2)+c-\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log(u)+c\Big\lvert_{\displaystyle u=2t+\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2t+\sqrt{2}\right)+c

25. Dobbiamo ora svolgere dei passaggi simili per il calcolo dell’integrale (b)(b). Aggiungiamo ancora una volta un fattore 2\textcolor{00ffa1}{2} all’interno dell’integrale da 1/2\textcolor{00ffa1}{1/2}

12212212t2dt\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}\int\textcolor{00ffa1}{2}\cdot\frac{1}{2t-\sqrt{2}}\,dt

26. Sostituendo con u=2t2u=2t-\sqrt{2} e du=ddt[2t2]=2dtdu=\dfrac{d}{dt}\left[2t-\sqrt{2}\right]=2\,dt

2141udu\frac{\sqrt{2}-1}{4}\int\frac{1}{u}\,du

27. Che ha la stessa primitiva del paragrafo 24, valutata però in u=2t2u=2t-\sqrt{2}, ovvero

214log(2t2)+c\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2t-\sqrt{2}\right)+c

28. È giunto ora il momento di ricomporre tutti i pezzi dell’integrale iniziale calcolati un po’ alla volta. L’integrale assegnato in partenza è infatti costituito dai sottointegrali (1)(1), (2)(2) e (3)(3), dove l’ultimo tra essi è composto a sua volta dai sottointegrali (a)(a) e (b)(b). Per ottenere il risultato finale dovremo quindi sommare tutti i risultati trovati nei paragrafi 9, 10, 24 e 27, che ci portano a ottenere (le costanti cc le raggruppiamo per semplicità in una stessa costante col medesimo nome)

(1)+(2)+(a)+(b)t22+t2+14log(2t+2)+214log(2t+2)+c\textcolor{00ffa1}{(1)}+\textcolor{33eae4}{(2)}+\textcolor{00ffa1}{(a)}+\textcolor{33eae4}{(b)}\\\Downarrow\\\textcolor{00ffa1}{\frac{t^2}{2}}\textcolor{33eae4}{+t}\textcolor{00ffa1}{-\frac{\sqrt{2}+1}{4}\cdot\log\left(2t+\sqrt{2}\right)}\textcolor{33eae4}{+\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2t+\sqrt{2}\right)}+c

29. Riportando ora il risultato nella variabile di partenza x=t21x=t^2-1 otteniamo il risultato finale

x+12+x+12+14log(2x+1+2)+214log(2x+1+2)+c\fbox{$\displaystyle\frac{x+1}{2}+\sqrt{x+1}-\frac{\sqrt{2}+1}{4}\cdot\log\left(2\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\right)+\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\right)+c$}

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