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Esercizio integrali esame #3
Calcolare l’integrale
\int_{0}^{4}e^{\sqrt{x}}\,dxSuggerimento #1
L’integrale si può risolvere per sostituzione: provare a trovare una sostituzione che semplifica l’espressione.
Suggerimento #2
Applicare la sostituzione u=\sqrt{x} e trovare i corrispettivi valori di x, du, dx e i nuovi estremi di integrazione.
Suggerimento #3
Dopo aver riscritto l’integrale con le sostituzioni risolverlo tramite l’integrazione per parti.
Svolgimento
1. Per prima cosa possiamo sostituire \sqrt{x} e chiamare tale quantità u. Elevando al quadrato entrambi i termini otteniamo
u=\sqrt{x}\iff x=u^22. Derivando alla Leibniz l’espressione di u possiamo ottenere le espressioni di du e di conseguenza di dx
du=\frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx\iff\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right)^{-1}\,du=dx3. Riscrivendo tali quantità applicando le trasformazioni imposte dagli esponenti otteniamo delle espressioni equivalenti per il dx
2\sqrt{x}\,du=dx\\2u\,du=dx4. Per trovare i nuovi estremi di integrazione è sufficiente inserire x=4 e x=0 nell’espressione di u per trovarne i relativi valori
x=4\Rightarrow u=2\\x=0\Rightarrow u=0
5. Possiamo ora riscrivere l’integrale
\int_{0}^{2}e^u\,2u\,\,du6. Per risolverlo dobbiamo usare l’integrazione per parti, che per facilità mnemonica possiamo indicare come \int f’\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g’, dunque nel nostro caso specifico vale
f=e^u\iff f'=e^u\\g=2u\iff g'=2
7. Utilizzando tali valori possiamo riscrivere l’espressione al paragrafo 5 come
\int_{0}^{2}e^u\,2u\,\,du=\left[e^u\,2u\right]_0^2-\int_{0}^{2}2e^u\,du8. A questo punto si tratta di risolvere il secondo integrale banale
\left[e^u\,2u\right]_0^2-2\left[e^u\right]_0^2
9. E sostituire i valori di u imposti dagli estremi di integrazione
e^2\cdot2\cdot2-2\left(e^2-1\right)=4e^2-2e^2+2
10. Risolvendo l’espressione possiamo poi trovare il risultato finale
2e^2+2=\fbox{$\displaystyle2\left(e^2+1\right)$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo. Se hai trovato degli errori o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione lascialo pure di seguito.
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