Integrale definito con rapporto tra funzioni esponenziali

Esercizio integrali esame #4

Calcolare l’integrale

\int_{\log(3)}^{2}\frac{e^x}{e^{2x}-4}\,dx

Suggerimento #1

Risolvere l’integrale tramite la tecnica di sostituzione.

Suggerimento #2

Porre $e^x=t$ facendo diventare $e^{2x}=$ …

Suggerimento #3

È necessaria un’ulteriore sostituzione per risolvere agevolmente il problema.

Suggerimento #4

Porre $t/2=u$ .

Suggerimento #3

Ricordare l’espressione degli integrali risolvibili tramite arcotangente iperbolica

\frac{1}{(1-\psi^2)}=\tanh^{-1}(\psi)+c

Svolgimento

1. Per prima cosa possiamo riscrivere l’espressione assegnata come

\int_{\log(3)}^{2}\frac{e^x}{(e^{x})^2-4}\,dx

2. Per poter effettuare la sostituzione nel primo suggerimento $e^x=t$ , da cui si ricava $dt=e^x\,dx$ e per quando riguarda gli estremi di integrazione quando $x=\log(3)$ si ha $t=e^{\log(3)}=3$ mentre quando $x=2$ si ottiene $t=e^2$ . L’espressione diventa dunque

\int_{3}^{e^2}\frac{1}{t^2-4}\,dt

3. Da cui si può raccogliere il $4$ a denominatore per ottenere

\int_{3}^{e^2}\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{t^2/4-1}\,dt=\frac{1}{4}\int_{3}^{e^2}\frac{1}{t^2/4-1}\,dt

4. E aggiungendo un meno fuori e dentro l’integrale otteniamo un’espressione sempre più simile a quella che ci serve per risolvere l’integrale tramite arcotangente iperbolica

-\frac{1}{4}\int_{3}^{e^2}-\frac{1}{t^2/4-1}\,dt

5. Distribuendo il meno sul denominatore

-\frac{1}{4}\int_{3}^{e^2}\frac{1}{1-t^2/4}\,dt

6. Ed esprimendo il $4$ come $2^2$ per poter mettere in comune l’esponente con la $t$

-\frac{1}{4}\int_{3}^{e^2}\frac{1}{1-(t/2)^2}\,dt

7. Possiamo ora effettuare la sostituzione del quarto suggerimento ponendo $t/2=u$ , da cui si ottiene $du=1/2\,dt$ , mentre per gli estremi di integrazione si ha, per $t=3\Rightarrow u=3/2$ , mentre per $t=e^2\Rightarrow u=e^2/2$ . Per evitare però di dover complicare l’esercizio possiamo aggiungere un fattore $1/2$ all’interno dell’integrale e bilanciarlo con un $2$ all’esterno, in modo tale da trovare esattamente la quantità $du$ già inserita all’interno dell’integrale

-\frac{1}{4}\cdot 2\int_{3}^{e^2}\frac{1/2}{1-(t/2)^2}\,dt

8. Sostituendo le quantità calcolate al paragrafo precedente

-\frac{1}{2}\int_{3/2}^{e^2/2}\frac{1}{1-u^2}\,du

9. Otteniamo un’espressione risolvibile in maniera immediata tramite l’arcotangente iperbolica

-\frac{1}{2}\int_{3/2}^{e^2/2}\frac{1}{1-u^2}\,du=-\frac{1}{2}\left[\tanh^{-1}(u)\right]_{3/2}^{e^2/2}

10. Che possiamo espandere come

-\frac{1}{2}\left[\tanh^{-1}\left(\frac{e^2}{2}\right)-\tanh^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)\right]

11. Da cui possiamo ottenere l’espressione finale distribuendo il meno fuori dalla parentesi

\fbox{$\displaystyle\frac{1}{2}\left[\tanh^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)-\tanh^{-1}\left(\frac{e^2}{2}\right)\right]$}

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