Esercizio integrali esame #2

Calcolare l’integrale

\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)+\sin(2x)}{4+\sin^2(x)}\,dx

Suggerimento #1

Ricordare la formula trigonometrica che permette di espandere $\sin(2x)$ in $2\sin(x)\cos(x)$ , permettendo così di raccogliere il…

Suggerimento #2

Tramite la tecnica di sostituzione per semplificare l’espressione e poter poi dividere l’integrale originale in due sottointegrali sfruttandone la linearità.

Suggerimento #3

Uno dei due sottointegrali si può risolvere tramite l’arcotangente: provare a esprimere la funzione in maniera tale da rendere più evidente tale collegamento.

Suggerimento #4

L’altro sottointegrale si può risolvere tramite il logaritmo: provare a esprimere la funzione in maniera tale da rendere più evidente tale collegamento.

Svolgimento

1. Ricordando la formula trigonometrica $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ possiamo riscrivere l’integrale come

\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)+2\sin(x)\cos(x)}{4+\sin^2(x)}\,dx

2. A questo punto raccogliamo il coseno

\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)\left[1+2\sin(x)\right]}{4+\sin^2(x)}\,dx

3. E tramite la tecnica di sostituzione possiamo semplificare l’integrale ponendo $\sin(x)=u$ , da cui possiamo ottenere i seguenti risultati per il $du$ e i relativi estremi di integrazione

\sin(x)=u\\du=\cos(x)\,dx\\x=0\Rightarrow u=\sin(0)=0\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow u=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

4. L’espressione semplificata risulta dunque

\int_{0}^{1}\frac{1+2u}{4+u^2}\,du

5. Che possiamo dividere in due sottointegrali dividendo il numeratore

\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{1}{4+u^2}\,du}_{(1)}+\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{2u}{4+u^2}\,du}_{(2)}

6. Risolviamo ora la parte $(1)$ . Possiamo raccogliere a fattore comune il $4$ a denominatore

\int_{0}^{1}\frac{1}{4\left(1+\displaystyle\frac{u^2}{4}\right)}\,du

7. Che è un’espressione molto simile a quella che sappiamo risolvere tramite l’arcotangente. È infatti sufficiente esprimere il $4$ come $2^2$ e portare fuori dall’integrale le costanti

\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\displaystyle\left(\frac{u}{2}\right)^2}\,du

8. A questo punto abbiamo due possibilità: se ricordiamo a memoria le tecniche per risolvere un integrale di questo tipo possiamo scrivere direttamente

\frac{1}{4}\left[2\arctan\left(\frac{u}{2}\right)\right]_0^1=\frac{1}{2}\left[\arctan\left(\frac{1}{2}\right)-\underbrace{\cancel{\arctan(0)}}_{=\,\,0}\right]=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right)

9. E trovare il risultato in maniera immediata, altrimenti possiamo ottenere lo stesso risultato tramite una nuova sostituzione, che ci porta ad avere

t=\frac{u}{2}\\[10pt]dt=\frac{1}{2}\,du\\[10pt]u=0\Rightarrow t=0\\[10pt]u=1\Rightarrow t=\frac{1}{2}

10. Dunque l’integrale diventa

\frac{1}{4}\cdot2\int_{0}^{1/2}\frac{1}{1+t^2}\,dt

11. Che possiamo riportare in maniera immediata all’arcotangente, e ci basta poi valutare negli estremi di integrazione

\frac{1}{2}\left[\arctan(t)\right]_0^{1/2}=\frac{1}{2}\left[\arctan\left(\frac{1}{2}\right)-\underbrace{\cancel{\arctan(0)}}_{=\,\,0}\right]=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right)

Trovando, naturalmente, lo stesso risultato.

12. Per la parte $(w)$ dell’integrale

\int_{0}^{1}\frac{2u}{4+u^2}\,du

13. Possiamo ragionare ancora tramite la seguente sostituzione

u^2=t\\[10pt]dt=2t\,du\\[10pt]u=0\Rightarrow t=0\\[10pt]u=1\Rightarrow t=1

14. Che ci porta a semplificare l’espressione come

\int_{0}^{1}\frac{1}{4+t}\,dt

15. La cui primitiva è la funzione logaritmo. Avremo infatti

\left[\log|4+t|\right]_0^1

16. Che possiamo però riscrivere come

\left[\log(4+t)\right]_0^1

Togliendo il valore assoluto, infatti la quantità $t=u^2$ è sicuramente positiva.

17. È ora sufficiente valutare il logaritmo negli estremi di integrazione

\log(4+1)-\log(4+0)=\log\left(\frac{5}{4}\right)

18. E per trovare il risultato finale dell’integrale iniziale basta mettere insieme i risultati trovati per gli integrali $(1)$ e $(2)$ , ovvero

\fbox{$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\log\left(\frac{5}{4}\right)$}

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