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Esercizio integrali esame #7
Calcolare l’integrale
\int_{0}^{8}e^{\displaystyle\sqrt[3]{x}}\,dxSuggerimento #1
Provare a ragionare su una sostituzione che possa semplificare la presenza di \sqrt[3]{\cdot} eliminando la radice.
Suggerimento #2
Porre x=t^3 e ottenere i rispettivi valori di t e dx, nonché gli i nuovi estremi di integrazione.
Suggerimento #3
Se non si è riusciti a semplificare l’espressione tramite la sostituzione precedente provare comunque a risolvere l’integrale seguente
\int_{0}^{2}3t^2\cdot e^t\,dtSuggerimento #4
Per risolvere l’integrale del suggerimento precedente è necessario applicare l’integrazione per parti.
Svolgimento
1. Effettuiamo la sostituzione x=t^3 a cui corrisponde il valore t=\sqrt[3]{x} mentre per il dx vale
dx=\frac{d}{dt}\left[t^3\right]=3t^2\,dtmentre per gli estremi d’integrazione vale
\text{se } x=0\text{ allora } t=0\\\text{se } x=8\text{ allora } t=\sqrt[3]{8}=22. Possiamo quindi riscrivere l’integrale originale in maniera equivalente come
\int_{0}^{2}3t^2\cdot e^t\,dt=3\int_{0}^{2}\underbrace{t^2}_{\displaystyle g}\cdot \underbrace{e^t}_{\displaystyle f'}\,dt3. Integrando per parti l’espressione in cui sono evidenziati i valori di g e f’ otteniamo
3\left\{\left[t^2\cdot e^t\right]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\underbrace{2t}_{\displaystyle g}\cdot \underbrace{e^t}_{\displaystyle f'}\,dt\right\}4. A questo punto dobbiamo eseguire un’altra integrazione per parti per l’integrale che è rimasto. Abbiamo chiamato nuovamente le funzioni g e f’ per conformità con la notazione utilizzata nella pagina di spiegazione, ma chiaramente le due funzioni sono diverse rispetto a quelle del passaggio 2. Integrando nuovamente per parti l’integrale e semplificando la parentesi quadra otteniamo
3\left\{2^2e^2-\cancel{2^0e^0}-2\left(\left[te^t\right]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}e^t\,dt\right)\right\}5. Dove possiamo risolvere l’integrale e svolgere i passaggi algebrici sugli altri termini
3\left\{4e^2-2\left(\left[2e^2-\cancel{0e^0}\right]-\left[e^t\right ]_{0}^{2}\right)\right\}=(\spades)6. Svolgendo le restanti semplificazioni algebriche su (\spades) porta a ottenere il risultato finale nel modo seguente
\begin{aligned}(\spades)&=3\left\{4e^2-2\left(2e^2\textcolor{00ffa1}{-}\left[e^2-e^0\right]\right)\right\}\\[10pt]&=3\left\{4e^2-\textcolor{00ffa1}{2}\left(2e^2-e^2+1\right)\right\}\\[10pt]&=3\left\{\cancel{4e^2}-\cancel{4e^2}+\textcolor{00ffa1}{2}e^2-\textcolor{00ffa1}{2}\right\}\\[10pt]&=\textcolor{00ffa1}{3}\left\{\textcolor{00ffa1}{2}\left(e^2-1\right)\right\}=\fbox{$\displaystyle 6\left(e^2-1\right)$}\end{aligned}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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