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Esercizio integrali esame #6
Calcolare l’integrale
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left[\cos^{3}(x)-\sin^3(x)\right]\,dxSuggerimento #1
Dividere l’integrale tramite la propria linearità e provare a ragionare sulle funzioni coinvolte. Il grafico della funzione \sin^3(x) è il seguente, quindi…
Suggerimento #2
Notiamo che l’area positiva e negativa della funzione \sin^3(x) è la stessa in valore assoluto, quindi l’integrale di tale funzione sarà nullo. Si tratta dunque di risolvere soltanto l’integrale di \cos^3(x).
Suggerimento #3
Notare che \cos^3(x)=\cos^2(x)\cos(x) e ricordare l’identità fondamentale della trigonometria che ci porta a utilizzare la tecnica di sostituzione.
Suggerimento #4
Possiamo sostituire \sin(x)=u per poter poi esprimere il resto delle quantità in funzione di u.
Svolgimento
1. Di fatto si tratta di risolvere l’integrale seguente (leggere i consigli sopra per capire come mai)
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^{3}(x)\,dx2. Esprimiamo \cos^3(x)=\cos^2(x)\cos(x) e poiché \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 possiamo esprimere \cos^2(x) come 1-\sin^2(x). Abbiamo dunque l’integrale seguente
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^{3}(x)\,dx=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^{2}(x)\cos(x)\,dx=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left(1-\sin^2(x)\right)\cos(x)\,dx3. Sostituendo ora con \sin(x)=u troviamo du=\displaystyle\frac{d}{dx}[\sin(x)]=\cos(x) mentre per gli estremi di integrazione vale
\text{se }x=-\frac{\pi}{3}\Rightarrow u=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\[10pt]\text{se }x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow u=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}4. Otteniamo dunque l’integrale seguente
\int_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}\left(1-u^2\right)\,du5. Che possiamo dividere sfruttandone la linearità
\int_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}\,du-\int_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}u^2\,du6. Integrando le funzioni in immediata
\left[u\right]_{-\sqrt{3/2}}^{\sqrt{3/2}}-\left[\frac{u^3}{3}\right]_{-\sqrt{3/2}}^{\sqrt{3/2}}7. Che possiamo poi semplificare algebricamente tramite i seguenti passaggi per ottenere il risultato finale
\begin{aligned}&=\left[\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]-\frac{1}{3}\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\right]\\[20pt]&=\cancel{2}\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}-\frac{1}{3}\left[\frac{\sqrt{3}^3}{8}+\frac{\sqrt{3}^3}{8}\right]\\[20pt]&=\sqrt{3}-\frac{1}{3}\left[\cancel{2}\frac{\sqrt{3}^3}{\cancel{8}_4}\right]\\[20pt]&=\sqrt{3}-\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{4}\\[20pt]&=\sqrt{3}\left(1-\frac{\sqrt{3}^2}{12}\right)\\[20pt]&=\sqrt{3}\left(1-\frac{\cancel{3}}{\cancel{12}_4}\right)=\sqrt{3}\cdot\frac{3}{4}=\fbox{$\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}$}\end{aligned}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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