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Esercizio integrali esame #1
Discutere il risultato dell’integrale al variare di \alpha\in\R
\int_{0}^{+\infty}\frac{x^\alpha}{(1+x^3)\arctan\left(7x^2\right)}\,dxSuggerimento #2
I punti 0 e +\infty sono quelli problematici, provare a dividere l’integrale nel punto 1 per semplificare l’espressione proposta.
Suggerimento #3
Studiare la convergenza/divergenza dei due sottointegrali al variare di \alpha\in\R dopo aver sostituito eventuali quantità asintoticamente note.
Svolgimento
1. L’integrale ha due valori in cui risulta difficile applicare i metodi risolutivi studiati: 0 e +\infty (li sappiamo soltanto analizzare separatamente, non insieme). Dividiamo allora l’integrale nel punto 1 sfruttando la linearità della funzione integrale
\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{x^\alpha}{(1+x^3)\arctan\left(7x^2\right)}\,dx}_{(1)}+\underbrace{\int_{1}^{+\infty}\frac{x^\alpha}{(1+x^3)\arctan\left(7x^2\right)}\,dx}_{(2)}2. Analizziamo ora separatamente le parti (1) e (2). Partiamo dalla parte (1): studiamo l’andamento asintotico delle funzioni verso 0. Utilizziamo gli sviluppi di Taylor della funzione arcotangente e del polinomio 1+x^3.
\text{Per }x\to0\quad1+x^3\sim1\\\text{Per }x\to0\quad\arctan\left(7x^2\right)\sim7x^2+o\left(x^2\right)3. A questo punto possiamo sostituire i valori asintotici nell’integrale e portiamo il parametro \alpha a denominatore per poter confrontare l’integrale assegnato nell’esercizio con gli integrali teorici
\int_{0}^{1}\frac{x^\alpha}{7x^2}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{7x^{2-\alpha}}\,dx=\frac{1}{7}\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2-\alpha}}\,dx4. Sappiamo che, nel caso generale (fare attenzione agli estremi di integrazione!)
\int_{a}^{b}\frac{1}{x^\alpha}\,dx=\begin{cases}<+\infty&\alpha<1\\+\infty&\alpha\geq1\end{cases}5. Vogliamo ora sapere nel caso specifico dell’esercizio quando l’integrale converge/diverge. In questo caso possiamo dunque controllare l’espressione che contiene \alpha ad esponente della x rispetto alla condizione \alpha<1 dell’integrale teorico
2-\alpha<1\iff-\alpha<-1\iff\alpha>1
6. L’integrale della parte (1) converge dunque per \alpha> 1 mentre diverge per gli altri valori di \alpha. Per la parte (2) analizziamo invece di seguito cosa succede. Poiché la parte problematica di questa seconda porzione dell’esercizio consiste nella presenza del +\infty come estremo d’integrazione superiore, dobbiamo quindi riportare anche tale parte dell’integrale in una forma tale da poterla confrontare con quelle teoriche. Prima di tutto è però necessario capire il comportamento della funzione arcotangente verso +\infty.
Sappiamo dalla teoria che il valore asintotico dell’arcotangente verso +\infty è \pi/2, che possiamo velocemente verificare dal seguente grafico, in cui la coordinata 1.55 è effettivamente molto vicina al valore \pi/2\approx1.57…, infatti verso +\infty la funzione tende proprio a tale valore
possiamo ora sostituire l’arcotangente con il suo valore asintotico e riportare l’integrale in forma standard
\int_{1}^{+\infty}\frac{x^\alpha}{x^3\cdot\pi/2}\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{3-\alpha}}\,dx7. Sappiamo che nel caso generale si ha convergenza/divergenza per i seguenti valori di \alpha (fare attenzione agli estremi di integrazione!)
\int_{a}^{b}\frac{1}{x^\alpha}\,dx=\begin{cases}<+\infty&\alpha>1\\+\infty&\alpha\leq1\end{cases}8. Dunque nel caso dell’esercizio deve valere
3-\alpha>1\iff-\alpha>-2\iff\alpha<2
9. La seconda parte dell’integrale converge dunque per \alpha < 2, e per trovare quando l’intero integrale converge/diverge è sufficiente mettere assieme le condizioni per la convergenza/divergenza delle due parti di integrale, ovvero
\begin{cases}1<\alpha<2&\text{L'integrale converge}\\\text{altrimenti}&\text{L'integrale diverge}\end{cases}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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