Integrale con parametro reale e moltiplicazione tra polinomio e arcotangente

Esercizio integrali esame #1

Discutere il risultato dell’integrale al variare di $\alpha\in\R$

\int_{0}^{+\infty}\frac{x^\alpha}{(1+x^3)\arctan\left(7x^2\right)}\,dx

Suggerimento #1

Analizzare attentamente agli estremi di integrazione per capire come dividere i punti più complessi da studiare in sottoproblemi più facili da risolvere con le tecniche teoriche studiate qui e qui.

Suggerimento #2

I punti $0$ e $+\infty$ sono quelli problematici, provare a dividere l’integrale nel punto $1$ per semplificare l’espressione proposta.

Suggerimento #3

Studiare la convergenza/divergenza dei due sottointegrali al variare di $\alpha\in\R$ dopo aver sostituito eventuali quantità asintoticamente note.

Svolgimento

1. L’integrale ha due valori in cui risulta difficile applicare i metodi risolutivi studiati: $0$ e $+\infty$ (li sappiamo soltanto analizzare separatamente, non insieme). Dividiamo allora l’integrale nel punto $1$ sfruttando la linearità della funzione integrale

\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{x^\alpha}{(1+x^3)\arctan\left(7x^2\right)}\,dx}_{(1)}+\underbrace{\int_{1}^{+\infty}\frac{x^\alpha}{(1+x^3)\arctan\left(7x^2\right)}\,dx}_{(2)}

2. Analizziamo ora separatamente le parti $(1)$ e $(2)$ . Partiamo dalla parte $(1)$ : studiamo l’andamento asintotico delle funzioni verso $0$ . Utilizziamo gli sviluppi di Taylor della funzione arcotangente e del polinomio $1+x^3$ .

\text{Per }x\to0\quad1+x^3\sim1\\\text{Per }x\to0\quad\arctan\left(7x^2\right)\sim7x^2+o\left(x^2\right)

3. A questo punto possiamo sostituire i valori asintotici nell’integrale e portiamo il parametro $\alpha$ a denominatore per poter confrontare l’integrale assegnato nell’esercizio con gli integrali teorici

\int_{0}^{1}\frac{x^\alpha}{7x^2}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{7x^{2-\alpha}}\,dx=\frac{1}{7}\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2-\alpha}}\,dx

4. Sappiamo che, nel caso generale (fare attenzione agli estremi di integrazione!)

\int_{a}^{b}\frac{1}{x^\alpha}\,dx=\begin{cases}<+\infty&\alpha<1\\+\infty&\alpha\geq1\end{cases}

5. Vogliamo ora sapere nel caso specifico dell’esercizio quando l’integrale converge/diverge. In questo caso possiamo dunque controllare l’espressione che contiene $\alpha$ ad esponente della $x$ rispetto alla condizione $\alpha<1$ dell’integrale teorico

2-\alpha<1\iff-\alpha<-1\iff\alpha>1

6. L’integrale della parte $(1)$ converge dunque per $\alpha> 1$ mentre diverge per gli altri valori di $\alpha$ . Per la parte $(2)$ analizziamo invece di seguito cosa succede. Poiché la parte problematica di questa seconda porzione dell’esercizio consiste nella presenza del $+\infty$ come estremo d’integrazione superiore, dobbiamo quindi riportare anche tale parte dell’integrale in una forma tale da poterla confrontare con quelle teoriche. Prima di tutto è però necessario capire il comportamento della funzione arcotangente verso $+\infty$ .

Sappiamo dalla teoria che il valore asintotico dell’arcotangente verso $+\infty$ è $\pi/2$ , che possiamo velocemente verificare dal seguente grafico, in cui la coordinata $1.55$ è effettivamente molto vicina al valore $\pi/2\approx1.57…$ , infatti verso $+\infty$ la funzione tende proprio a tale valore

possiamo ora sostituire l’arcotangente con il suo valore asintotico e riportare l’integrale in forma standard

\int_{1}^{+\infty}\frac{x^\alpha}{x^3\cdot\pi/2}\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{3-\alpha}}\,dx

7. Sappiamo che nel caso generale si ha convergenza/divergenza per i seguenti valori di $\alpha$ (fare attenzione agli estremi di integrazione!)

\int_{a}^{b}\frac{1}{x^\alpha}\,dx=\begin{cases}<+\infty&\alpha>1\\+\infty&\alpha\leq1\end{cases}

8. Dunque nel caso dell’esercizio deve valere

3-\alpha>1\iff-\alpha>-2\iff\alpha<2

9. La seconda parte dell’integrale converge dunque per $\alpha < 2$ , e per trovare quando l’intero integrale converge/diverge è sufficiente mettere assieme le condizioni per la convergenza/divergenza delle due parti di integrale, ovvero

\begin{cases}1<\alpha<2&\text{L'integrale converge}\\\text{altrimenti}&\text{L'integrale diverge}\end{cases}

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