Esercizio numeri complessi esame #4
Data
f(z)=\frac{2+iz}{iz+1}determinare il dominio e determinare tutti gli z\in\mathbb{C} tali che f(z)=z. Esprimere tutte le soluzioni in forma algebrica.
Suggerimento #1
Scrivere il dominio dell’equazione.
Suggerimento #2
Il dominio della funzione è z\neq i. Procedere ora con la semplificazione dell’espressione fino a ottenere un’equazione di secondo grado.
Suggerimento #3
L’equazione dovrebbe risolversi in una normale equazione di secondo grado in \mathbb{C}, risolvibile tramite il consueto metodo.
Suggerimento #4
\sqrt{6i}=\sqrt{3}+i\sqrt{3}Svolgimento
1. Si tratta di risolvere l’equazione
\frac{2+iz}{iz+1}=z2. Per prima cosa individuiamo il dominio dell’equazione assegnata in \mathbb{C}. Imponiamo dunque il denominatore di f(z) diverso da 0
iz+i\neq0
Ovvero
z\neq-\frac{1}{i}\neq-\frac{1\cdot\textcolor{00ffa1}{i}}{i\cdot\textcolor{00ffa1}{i}}\neq-\frac{i}{-1}\neq iAvremo dunque come dominio della funzione z\neq i.
3. Riscriviamo ora l’equazione semplificata tramite la moltiplicazione con (iz+1) da entrambi i lati dell’uguale
\frac{2+iz}{iz+1}=z\iff 2+iz=z(iz+1)4. Che possiamo ora risolvere distribuendo la z a destra dell’uguale
2+iz=iz^2+z
5. E riportando l’equazione in forma standard otteniamo
-iz^2-z+2+iz=0\iff iz^2+z-2-iz=0
6. Riscrivendo i termini
\underbrace{i}_{\displaystyle a}\cdot z^2+\underbrace{(1-i)}_{\displaystyle b}\cdot z\underbrace{-2}_{\displaystyle c}=07. E tramite la formula risolutiva otteniamo
z_{1,\,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(1-i)\pm\sqrt{(i-1)^2-4i(-2)}}{2i}8. Espandendo i termini
\frac{-1+i\pm\sqrt{\cancel{1}-\cancel{1}-2i+8i}}{2i}=\frac{-1+i\pm\sqrt{6i}}{2i}Espansione di 6i
a. Aggiungiamo \pm3 al 6i facendolo, di fatto, rimanere invariato
6i=6i\textcolor{00ffa1}{+3-3}b. Possiamo ora esprimere il -3 come 3i^2, infatti i^2=-1.
c. Otteniamo così
\textcolor{33eae4}{6i}+\textcolor{00ffa1}{3}+3i^2d. Riscrivendo il \textcolor{33eae4}{6i=\sqrt{36}\cdot i}, il \textcolor{00ffa1}{3=\sqrt{3}^2} e il 3i^2=(\sqrt{3}\cdot i)^2 otteniamo
\textcolor{33eae4}{\sqrt{36}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2e. Che possiamo ancora una volta riscrivere come
\textcolor{33eae4}{\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 3}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2f. Portando fuori il \textcolor{33eae4}{2^2} fuori dalla radice e applicando le proprietà delle radici
\textcolor{33eae4}{2\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2g. Riscrivendo i termini
\underbrace{\textcolor{33eae4}{2\sqrt{3}^2\cdot i}}_{\displaystyle 2ab}+\underbrace{\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}}_{\displaystyle a^2}+\underbrace{(\sqrt{3}\cdot i)^2}_{\displaystyle b^2}h. Possiamo riconoscere il quadrato di un binomio che ha come termini a=\sqrt{3} e b=\sqrt{3}\cdot i. Riscrivendolo come tale otteniamo
\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2=6ii. Verifichiamo di aver svolto correttamente i passaggi
\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2=\sqrt{3}^2+\left(i\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot ij. Poiché il 6i originale era sotto una radice dobbiamo fare lo stesso con la sua nuova forma equivalente appena trovata
\sqrt{6i}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{3}+i\sqrt{3}9. Riscrivendo ora l’espressione del passaggio 8 con la nuova forma di \sqrt{6i} otteniamo
\frac{-1+i\pm\sqrt{6i}}{2i}=\displaystyle \begin{cases}\displaystyle\frac{-1+i+\sqrt{6i}}{2i}\\[10pt]\displaystyle \frac{-1+i-\sqrt{6i}}{2i}\end{cases}\to\displaystyle\begin{cases}\displaystyle\frac{-1+i+\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{2i}&(1)\\[10pt]\displaystyle\frac{-1+i-\sqrt{3}-i\sqrt{3}}{2i}&(2)\end{cases}10. Che sono le nuove equazioni da risolvere per ottenere le soluzioni richieste. Iniziamo col risolvere (1)
11. Dividiamo il numeratore in parte reale e parte immaginaria \left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)i e distribuiamo il denominatore
\frac{\sqrt{3}-1}{2i}\cdot+\frac{(1+\sqrt{3})\cdot i}{2\cdot i}12. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per i
\frac{\sqrt{3}-1}{2i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}+\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\cancel{i}}{2\cdot\cancel{i}}13. Otteniamo a questo punto la forma desiderata per (1)
\underbrace{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Re}}+\underbrace{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Im}}\cdot i14. Eseguiamo gli stessi passaggi del caso (1) distribuendo il meno che si viene a creare sulla prima frazione al numeratore della stessa
15. Passiamo ora alla risoluzione di (2)
\begin{align*}\frac{-1+i-\sqrt{3}-i\sqrt{3}}{2i}&=\frac{-1-\sqrt{3}}{2i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}+\frac{(1-\sqrt{3})\cdot\cancel{i}}{2\cdot\cancel{i}}\\[10pt]&=\underbrace{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Re}}+\underbrace{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Im}}\cdot i\end{align*}16. Mettendo insieme le soluzioni di (1) e (2) possiamo riscrivere l’equazione in forma più compatta come
\fbox{$\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}+\frac{1\mp\sqrt{3}}{2}\cdot i$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
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