Funzione con i numeri complessi da esprimere in forma algebrica e determinazione del dominio

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Esercizio numeri complessi esame #4

Data

f(z)=\frac{2+iz}{iz+1}

determinare il dominio e determinare tutti gli $z\in\mathbb{C}$ tali che $f(z)=z$ . Esprimere tutte le soluzioni in forma algebrica.

Suggerimento #1

Scrivere il dominio dell’equazione.

Suggerimento #2

Il dominio della funzione è $z\neq i$ . Procedere ora con la semplificazione dell’espressione fino a ottenere un’equazione di secondo grado.

Suggerimento #3

L’equazione dovrebbe risolversi in una normale equazione di secondo grado in $\mathbb{C}$ , risolvibile tramite il consueto metodo.

Suggerimento #4

\sqrt{6i}=\sqrt{3}+i\sqrt{3}

Svolgimento

1. Si tratta di risolvere l’equazione

\frac{2+iz}{iz+1}=z

2. Per prima cosa individuiamo il dominio dell’equazione assegnata in $\mathbb{C}$ . Imponiamo dunque il denominatore di $f(z)$ diverso da $0$

iz+i\neq0

Ovvero

z\neq-\frac{1}{i}\neq-\frac{1\cdot\textcolor{00ffa1}{i}}{i\cdot\textcolor{00ffa1}{i}}\neq-\frac{i}{-1}\neq i

Avremo dunque come dominio della funzione $z\neq i$ .

3. Riscriviamo ora l’equazione semplificata tramite la moltiplicazione con $(iz+1)$ da entrambi i lati dell’uguale

\frac{2+iz}{iz+1}=z\iff 2+iz=z(iz+1)

4. Che possiamo ora risolvere distribuendo la $z$ a destra dell’uguale

2+iz=iz^2+z

5. E riportando l’equazione in forma standard otteniamo

-iz^2-z+2+iz=0\iff iz^2+z-2-iz=0

6. Riscrivendo i termini

\underbrace{i}_{\displaystyle a}\cdot z^2+\underbrace{(1-i)}_{\displaystyle b}\cdot z\underbrace{-2}_{\displaystyle c}=0

7. E tramite la formula risolutiva otteniamo

z_{1,\,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(1-i)\pm\sqrt{(i-1)^2-4i(-2)}}{2i}

8. Espandendo i termini

\frac{-1+i\pm\sqrt{\cancel{1}-\cancel{1}-2i+8i}}{2i}=\frac{-1+i\pm\sqrt{6i}}{2i}

Espansione di 6i

a. Aggiungiamo $\pm3$ al $6i$ facendolo, di fatto, rimanere invariato

6i=6i\textcolor{00ffa1}{+3-3}

b. Possiamo ora esprimere il $-3$ come $3i^2$ , infatti $i^2=-1$ .

c. Otteniamo così

\textcolor{33eae4}{6i}+\textcolor{00ffa1}{3}+3i^2

d. Riscrivendo il $\textcolor{33eae4}{6i=\sqrt{36}\cdot i}$ , il $\textcolor{00ffa1}{3=\sqrt{3}^2}$ e il $3i^2=(\sqrt{3}\cdot i)^2$ otteniamo

\textcolor{33eae4}{\sqrt{36}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2

e. Che possiamo ancora una volta riscrivere come

\textcolor{33eae4}{\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 3}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2

f. Portando fuori il $\textcolor{33eae4}{2^2}$ fuori dalla radice e applicando le proprietà delle radici

\textcolor{33eae4}{2\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2

g. Riscrivendo i termini

\underbrace{\textcolor{33eae4}{2\sqrt{3}^2\cdot i}}_{\displaystyle 2ab}+\underbrace{\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}}_{\displaystyle a^2}+\underbrace{(\sqrt{3}\cdot i)^2}_{\displaystyle b^2}

h. Possiamo riconoscere il quadrato di un binomio che ha come termini $a=\sqrt{3}$ e $b=\sqrt{3}\cdot i$ . Riscrivendolo come tale otteniamo

\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2=6i

i. Verifichiamo di aver svolto correttamente i passaggi

\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2=\sqrt{3}^2+\left(i\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot i

j. Poiché il $6i$ originale era sotto una radice dobbiamo fare lo stesso con la sua nuova forma equivalente appena trovata

\sqrt{6i}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{3}+i\sqrt{3}

9. Riscrivendo ora l’espressione del passaggio 8 con la nuova forma di $\sqrt{6i}$ otteniamo

\frac{-1+i\pm\sqrt{6i}}{2i}=\displaystyle \begin{cases}\displaystyle\frac{-1+i+\sqrt{6i}}{2i}\\[10pt]\displaystyle \frac{-1+i-\sqrt{6i}}{2i}\end{cases}\to\displaystyle\begin{cases}\displaystyle\frac{-1+i+\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{2i}&(1)\\[10pt]\displaystyle\frac{-1+i-\sqrt{3}-i\sqrt{3}}{2i}&(2)\end{cases}

10. Che sono le nuove equazioni da risolvere per ottenere le soluzioni richieste. Iniziamo col risolvere $(1)$

11. Dividiamo il numeratore in parte reale e parte immaginaria $\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)i$ e distribuiamo il denominatore

\frac{\sqrt{3}-1}{2i}\cdot+\frac{(1+\sqrt{3})\cdot i}{2\cdot i}

12. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $i$

\frac{\sqrt{3}-1}{2i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}+\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\cancel{i}}{2\cdot\cancel{i}}

13. Otteniamo a questo punto la forma desiderata per $(1)$

\underbrace{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Re}}+\underbrace{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Im}}\cdot i

14. Eseguiamo gli stessi passaggi del caso $(1)$ distribuendo il meno che si viene a creare sulla prima frazione al numeratore della stessa

15. Passiamo ora alla risoluzione di $(2)$

\begin{align*}\frac{-1+i-\sqrt{3}-i\sqrt{3}}{2i}&=\frac{-1-\sqrt{3}}{2i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}+\frac{(1-\sqrt{3})\cdot\cancel{i}}{2\cdot\cancel{i}}\\[10pt]&=\underbrace{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Re}}+\underbrace{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Im}}\cdot i\end{align*}

16. Mettendo insieme le soluzioni di $(1)$ e $(2)$ possiamo riscrivere l’equazione in forma più compatta come

\fbox{$\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}+\frac{1\mp\sqrt{3}}{2}\cdot i$}

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