Esercizio numeri complessi esame #8
Determinare il luogo geometrico dei numeri z\in\mathbb{C} dell’intersezione A\cap B dove gli insiemi A e B sono definiti come
A=\left\{z\in\mathbb{C}:z^4+2^4=0\right\}\\[10pt]B=\left\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}[z]-\frac{1}{2}\lvert\text{Re}[z]\rvert<0\right\}Suggerimento #1
L’insieme A può essere espresso isolando la z, dunque trovando le radici quarte di…
Suggerimento #2
Provare a trovare un’espressione in cui sia presente \sqrt[4]{-1}, che bisognerà semplificare utilizzando la conversione da forma cartesiana ad esponenziale (e viceversa) dei numeri complessi, nonché la tecnica per trovare le radici n-esime di un numero complesso.
Suggerimento #3
Per l’insieme B si può sostituire z=x+iy e analizzare l’espressione quando x\geq0 e x<0, rimuovendo in questo modo il valore assoluto. Si devono trovare due rette che individuano una porzione del piano cartesiano.
Svolgimento
1. Analizziamo per primo l’insieme A. Isoliamo la z
z^4+2^4=0\\[10pt]z^4=-2^4\\[10pt]z=\sqrt[4]{-2^4}2. Esprimendo \sqrt[4]{-2^4} come \sqrt[4]{2^4}\cdot\sqrt[4]{-1^4} possiamo semplificare la prima radice in maniera banale, e rimuovere l’esponente dell’1
z=2\sqrt[4]{-1}3. Dobbiamo ora calcolare le radici quarte di -1 attraverso la tecnica per trovare le radici n-esime di un numero complesso. Prima di poterla utilizzare dobbiamo esprimere il numero complesso -1+0i in forma esponenziale tramite la la conversione da forma cartesiana ad esponenziale. Avremo dunque
\begin{aligned}\rho&=\sqrt{x^2+y^2}\\[10pt]&=\sqrt{(-1)^2+0^2}\\[10pt]&=\sqrt{1^2}=1\end{aligned}4. Per trovare l’argomento \theta dobbiamo invece trovare un angolo che soddisfa il seguente sistema
\begin{cases}\cos(\theta)=\dfrac{x}{\rho}\\[10pt]\sin(\theta)=\dfrac{y}{\rho}\end{cases}5. Sostituendo i valori x=-1,\,y=0,\,\rho=1 si ottiene
\begin{cases}\cos(\theta)=\dfrac{-1}{1}=-1\\[10pt]\sin(\theta)=\dfrac{0}{1}=0\end{cases}6. Si tratta ora di trovare un angolo che abbia come coseno il valore -1 e come seno 0, dunque possiamo scegliere, ad esempio, \pi. Abbiamo quindi \theta=\pi.
7. Possiamo ora trovare le radici n-esime di 1+0i. Seguendo la notazione della pagina di teoria avremo
\underbrace{\sqrt[4]{1}}_{\displaystyle 1}\cdot\exp\left(\dfrac{\pi+2k\pi}{4}\right)\quad k=0,\,1,\,2,\,38. Espandendo l’espressione per i diversi valori di k otteniamo
\begin{aligned}&(k=0)\quad\exp\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\[15pt]&(k=1)\quad\exp\left(\dfrac{\pi+2\pi}{4}\right)=\exp\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)\\[15pt]&(k=2)\quad\exp\left(\dfrac{\pi+4\pi}{4}\right)=\exp\left(\dfrac{5}{4}\pi\right)\\[15pt]&(k=3)\quad\exp\left(\dfrac{\pi+6\pi}{4}\right)=\exp\left(\dfrac{7}{4}\pi\right)\end{aligned}9. Possiamo ora esprimere tali numeri complessi in forma esponenziale nuovamente in forma cartesiana
\begin{aligned}&\exp\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\\[15pt]&\exp\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)=\cos\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\\[15pt]&\exp\left(\dfrac{5}{4}\pi\right)=\cos\left(\dfrac{5}{4}\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{5}{4}\pi\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\\[15pt]&\exp\left(\dfrac{7}{4}\pi\right)=\cos\left(\dfrac{7}{4}\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{7}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}10. Abbiamo dunque risolto la radice quarta del paragrafo 2, dove era presente un fattore 2 che moltiplicava la radice. Notiamo che tutti i numeri che abbiamo trovato al paragrafo 9 hanno proprio un 2 a denominatore che permette così di fare le semplificazioni che ci portano a ottenere i seguenti numeri complessi come risultato dell’espressione dell’insieme A
\begin{aligned}&z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\\[5pt]&z_2=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\\[5pt]&z_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\\[5pt]&z_4=\sqrt{2}-i\sqrt{2}\end{aligned}11. Passiamo ora all’analisi dell’insieme B. Sostituendo nell’espressione assegna z=x+iy
\text{Im}[z+iy]-\frac{1}{2}\lvert\text{Re}[x+iy]\rvert<012. Dalla definizione di parte reale e immaginaria di un numero complesso otteniamo
y-\frac{1}{2}|x|<013. Dividendo usualmente il valore assoluto
\begin{cases}y-\dfrac{1}{2}x<0&x\geq0\\[10pt]y+\dfrac{1}{2}x<0&x<0\end{cases}14. Riscrivendo l’espressione mettendo evidenziando la presenza di due rette si ha
\begin{cases}y<\dfrac{1}{2}x&x\geq0\\[10pt]y<-\dfrac{1}{2}x&x<0\end{cases}15. Tali disequazioni individuano la seguente porzione del piano complesso
16. Rappresentiamo le soluzioni z_1,\,\dots,z_4 nello stesso piano
17. E vediamo che soltanto z_3 e z_4 sono contenute all’interno della porzione di piano individuata dall’insieme B. Poiché stiamo cercando A\cap B avremo dunque come soluzioni del problema assegnato
z_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\fbox{$\displaystyle-\sqrt{2}(1+i)$}\\[10pt]z_4=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\fbox{$\displaystyle\sqrt{2}(1-i)$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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