Equazione numeri complessi con parte reale e modulo di z elevato al quadrato

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Esercizio numeri complessi esame #6

Risolvere

\text{Re}[z]i+z^2=|z|^2-1

E disegnare le soluzioni sul piano complesso.

Suggerimento #1

Passare in forma algebrica.

Suggerimento #2

Ricordare i concetti di modulo di un numero complesso e la differenza col quadrato del modulo di un numero complesso.

Suggerimento #3

Un numero complesso è nullo se sia la parte reale che quella immaginaria sono nulle. Si tratterà dunque di risolvere un sistema formato da…

Svolgimento

1. Effettuiamo subito la sostituzione $z=x+iy$ per passare in forma algebrica

\text{Re}[x+iy]i+(x+iy)^{\textcolor{00ffa1}{ 2}}=|x+iy|^{\textcolor{00ffa1}{ 2}}-1

2. Svolgiamo i due quadrati evidenziati. Il primo è un semplice quadrato di un numero complesso, che di fatto si risolve con le stesse tecniche utilizzare per l’espansione del quadrato di binomio. Il secondo quadrato invece è invece da svolgere soltanto dopo aver calcolato il modulo del numero complesso $x+iy$ . Si ottiene dunque

\textcolor{00ffa1}{ \text{Re}}[x+iy]i+x^2+\textcolor{00ffa1}{ i^2}y^2+2xyi=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2-1

3. Sostituendo $i^2=-1$ e prendendo la parte reale del primo numero si ottiene

xi+\cancel{x^2}-y^2+2xyi=\cancel{x^2}+y^2-1

4. Da cui possiamo cancellare i termini opposti e riordinare l’espressione in maniera tale da dividere la parte reale da quella immaginaria

\underbrace{-2y^2+1}_{\displaystyle\text{Re}[z]}+(\underbrace{x+2xy}_{\displaystyle\text{Im}[z]})\cdot i=0

5. Poiché un numero complesso è uguale a zero se sia la parte reale che quella immaginaria sono nulle dobbiamo imporre tale condizione nel modo seguente

\begin{cases}-2y^2+1=0\\x+2xy=0\end{cases}

6. Dalla prima espressione ricaviamo $\displaystyle y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ , che possiamo poi inserire nella seconda espressione per trovare

\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[10pt]x\left(1+\cancel{2}\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}\right)=0&(\spades)\\[10pt]x\left(1+\cancel{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}\right)\right)=0&(\clubs)\end{cases}

7. Le equazioni $(\spades)$ e $(\clubs)$ hanno come soluzione soltanto $x=0$ , infatti le altre soluzioni sarebbero $x\pm\sqrt{2}=0$ , che è chiaramente un’affermazione falsa, dunque non è una soluzione. Si hanno quindi $s_1$ e $s_2$ come risultato finale

\begin{cases}y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[10pt]x=0\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{l}s_1=\left(0,\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\[20pt] s_2=\left(0,\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{array}

8. Rappresentando $s_1$ e $s_2$ nel piano complesso si ottiene

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