Esercizio numeri complessi esame #6
Risolvere
\text{Re}[z]i+z^2=|z|^2-1E disegnare le soluzioni sul piano complesso.
Suggerimento #1
Passare in forma algebrica.
Suggerimento #2
Ricordare i concetti di modulo di un numero complesso e la differenza col quadrato del modulo di un numero complesso.
Suggerimento #3
Un numero complesso è nullo se sia la parte reale che quella immaginaria sono nulle. Si tratterà dunque di risolvere un sistema formato da…
Svolgimento
1. Effettuiamo subito la sostituzione z=x+iy per passare in forma algebrica
\text{Re}[x+iy]i+(x+iy)^{\textcolor{00ffa1}{
2}}=|x+iy|^{\textcolor{00ffa1}{
2}}-12. Svolgiamo i due quadrati evidenziati. Il primo è un semplice quadrato di un numero complesso, che di fatto si risolve con le stesse tecniche utilizzare per l’espansione del quadrato di binomio. Il secondo quadrato invece è invece da svolgere soltanto dopo aver calcolato il modulo del numero complesso x+iy. Si ottiene dunque
\textcolor{00ffa1}{
\text{Re}}[x+iy]i+x^2+\textcolor{00ffa1}{
i^2}y^2+2xyi=\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2-13. Sostituendo i^2=-1 e prendendo la parte reale del primo numero si ottiene
xi+\cancel{x^2}-y^2+2xyi=\cancel{x^2}+y^2-14. Da cui possiamo cancellare i termini opposti e riordinare l’espressione in maniera tale da dividere la parte reale da quella immaginaria
\underbrace{-2y^2+1}_{\displaystyle\text{Re}[z]}+(\underbrace{x+2xy}_{\displaystyle\text{Im}[z]})\cdot i=05. Poiché un numero complesso è uguale a zero se sia la parte reale che quella immaginaria sono nulle dobbiamo imporre tale condizione nel modo seguente
\begin{cases}-2y^2+1=0\\x+2xy=0\end{cases}6. Dalla prima espressione ricaviamo \displaystyle y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, che possiamo poi inserire nella seconda espressione per trovare
\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[10pt]x\left(1+\cancel{2}\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}\right)=0&(\spades)\\[10pt]x\left(1+\cancel{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}\right)\right)=0&(\clubs)\end{cases}7. Le equazioni (\spades) e (\clubs) hanno come soluzione soltanto x=0, infatti le altre soluzioni sarebbero x\pm\sqrt{2}=0, che è chiaramente un’affermazione falsa, dunque non è una soluzione. Si hanno quindi s_1 e s_2 come risultato finale
\begin{cases}y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[10pt]x=0\end{cases}\Rightarrow\begin{array}{l}s_1=\left(0,\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\[20pt]
s_2=\left(0,\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{array}8. Rappresentando s_1 e s_2 nel piano complesso si ottiene
Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.