Esercizio numeri complessi esame #5
Determinare il luogo geometrico dei punti z\in\mathbb{C} tali che
\text{Re}\left[\frac{i\left(z^2+\text{Im}(z)^2\right)-z}{e^{3/2\pi i}\cdot\left(z\cdot\bar{z}-7e^{4\pi i}\right)}\right]=0Suggerimento #1
Esprimere i numeri complessi da forma esponenziale a cartesiana per semplificare l’espressione.
Suggerimento #2
Eseguire la sostituzione z=x+iy per esprimere separatamente le parti reali e le parti complesse dei numeri z.
Suggerimento #3
Semplificare l’espressione fino ad avere la parte complessa del numero espressa come una frazione diversa da quella che rappresenta la parte reale. La richiesta dell’esercizio è verificare quando la parte reale del numero è nulla, quindi…
Suggerimento #4
Ragionare in maniera grafica per trovare l’insieme delle soluzioni. Dalla funzione a numeratore della frazione bisogna togliere i punti di una circonferenza, la cui espressione è…
Svolgimento
1. Esprimiamo come primo passaggio i numeri da forma esponenziale a cartesiana:
\begin{aligned}e^{\displaystyle3/2\pi i} &= \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\\&= 0+i(-1)=-i\end{aligned}\\[2pt]\begin{aligned}e^{\displaystyle4\pi i} &=7\left(\cos(4\pi)+i\sin(4\pi)\right)\\&=7(1+\cancel{0i})\\&=7\end{aligned}2. Ritrovandoci così con l’espressione
\text{Re}\left[\frac{i\left(z^2+\text{Im(z)}^2\right)-z}{-i\left(z\cdot\bar{z}-z\right)}\right]3. Possiamo sostituire z=x+iy
\text{Re}\left[\frac{i\left(\left(x+iy\right)^{\textcolor{00ffa1}{2}}+\text{Im}(x+iy)^{\textcolor{00ffa1}{2}}\right)-(x+iy)}{-i\left((x+iy)\cdot(x-iy)-7\right)}\right]=04. Ed espandendo il quadrato di (x+iy) e sapendo che \text{Im}(x+iy)^{\textcolor{00ffa1}{2}}=y^2 dalle regole sui numeri complessi otteniamo, dopo aver distribuito il meno dell’ultima quantità a numeratore
\text{Re}\left[\frac{\textcolor{00ffa1}{i}\left(x^2+i^2y^2+2xyi+y^2\right)-x-iy}{\textcolor{00ffa1}{-i}\left((x+iy)\cdot(x-iy)-7\right)}\right]=05. Distribuendo la i a numeratore e il -i al denominatore otteniamo
\text{Re}\left[\frac{x^2\textcolor{00ffa1}{i}-y^2\textcolor{00ffa1}{i}\textcolor{00ffa1}{-}2xy+y^2\textcolor{00ffa1}{i}-x-iy}{\textcolor{00ffa1}{-}x^2i+(-1)y^2i+7i}\right]=06. E poiché a denominatore ogni membro ha una i associata, moltiplicando numeratore e denominatore proprio per tale valore possiamo rimuovere la dipendenza dall’unità immaginaria nel denominatore
\text{Re}\left[\frac{x^2i-y^2i-2xy+y^2i-x-yi}{-x^2i-y^2i+7i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}\right]=07. Ottenendo
\text{Re}\left[\frac{x^2\textcolor{00ffa1}{i^2}-y^2\textcolor{00ffa1}{i^2}-2xy\textcolor{00ffa1}{i}+y^2\textcolor{00ffa1}{i^2}-x\textcolor{00ffa1}{i}-y\textcolor{00ffa1}{i^2}}{-x^2\textcolor{00ffa1}{i^2}-y^2\textcolor{00ffa1}{i^2}+7\textcolor{00ffa1}{i^2}}\right]=08. Sostituendo i^2=-1 e cancellando i termini opposti
\text{Re}\left[\frac{\textcolor{00ffa1}{-}x^2\textcolor{00ffa1}{+}\cancel{y^2}\textcolor{00ffa1}{-}2xyi\textcolor{00ffa1}{-}\cancel{y^2}\textcolor{00ffa1}{-}xi\textcolor{00ffa1}{+}y}{\textcolor{00ffa1}{+}x^2\textcolor{00ffa1}{+}y^2\textcolor{00ffa1}{-}7}\right]=09. Possiamo riscrivere l’equazione separando la parte reale e quella immaginaria
\text{Re}\left[\frac{-x^2+y-(2xy+x)i}{x^2+y^2-7}\right]=010. Nella quale possiamo distribuire il denominatore tra parte reale e immaginaria
\text{Re}\left[\frac{-x^2+y}{x^2+y^2-7}-\cancel{\frac{2xy+x}{x^2+y^2-7}i}\right]=011. E poiché vogliamo studiare quando la parte reale del numero è uguale a zero possiamo riscrivere il problema come
\frac{-x^2+y}{x^2+y^2-7}=012. Dove al numeratore abbiamo la parabola y=x^2, dalla quale vanno però esclusi i punti che annullano il denominatore, ovvero quelli
x^2+y^2=7
13. che sono quelli appartenenti alla circonferenza centrata nell’origine di raggio \sqrt{7} (vedi come disegnare una circonferenza dalla sua equazione). Dal punto di vista grafico si ha dunque la parabola mostrata sotto, dalla quale bisogna però escludere i punti d’intersezione con la circonferenza
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