Esercizio numeri complessi esame #1
Determinare il luogo geometrico dei punti z\in\mathbb{C} tali che
\frac{2(z+\bar{z})\cdot(\text{Re(z)+3})-4\lvert z\rvert^2}{e^{{\displaystyle\pi \cdot i/2}}\left(z+\bar{z}\right)-2i}=0Suggerimento #1
Trovare il dominio del numero complesso.
Suggerimento #2
Per semplificare l’equazione si può ragionare dopo aver effettuato il cambio z=x+iy e aver espresso in forma cartesiana la parte in forma esponenziale.
Svolgimento
1. Per prima cosa dobbiamo trovare il dominio dell’equazione assegnata. Per trovarlo in maniera più agevole può però essere utile effettuare subito il cambio z=x+iy ed esprimere e^{\pi/2i} come \cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2) tramite le usuali regole
\frac{2(x+\cancel{iy}+x-\cancel{iy})(x+3)-4\left(x^2+y^2\right)}{\left[\cos\displaystyle\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\right](x+\cancel{iy}+x-\cancel{iy})-2i}=02. Da cui si ottiene, dopo le cancellazioni
\frac{4x(x+3)-4x^2-4y^2}{i(2x)-2i}=03. Che è una forma molto più agevole anche per trovare il dominio, che facciamo imponendo il denominatore della frazione diverso da zero
i(2x)-21\neq0
4. Ovvero
2x\neq2\iff x\neq1
5. Possiamo ora trovare quando il numero complesso è uguale a zero imponendo il numeratore uguale a zero
\cancel{4x^2}+12x-\cancel{4x^2}-4y^2=06. Da cui si ricava
12x=4y^2\iff 3x=y^2\iff x=\frac{1}{3}y^27. La soluzione è dunque una parabola rispetto all’asse x da cui è però necessario togliere i punti che non appartengono al dominio, che in questo caso è l’intera retta x=1. Naturalmente poiché la soluzione è rappresentata dalla sola parabola non è necessario togliere tutti i punti della retta ma soltanto le intersezioni di quest’ultima con la parabola. Di seguito viene mostrato il grafico della soluzione
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