Disequazione numeri complessi con modulo, coniugato e quadrato di z

Home » Analisi 1 » Numeri complessi esame »

Esercizio numeri complessi esame #3

Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni di

\left\lvert2\bar{z}^2-2z^2\right\rvert<3

Suggerimento #1

Semplificare il più possibile l’espressione sostituendo $z=x+iy$ .

Suggerimento #2

Dopo aver semplificato il più possibile ragionare dividendo i diversi casi generati dalla presenza del valore assoluto. Pensare al problema in maniera grafica potrebbe essere d’aiuto.

Svolgimento

1. Sostituiamo $z=x+iy$ all’interno dell’espressione assegnata

\left\lvert2(x+iy)^2-2(x-iy)^2\right\rvert<3

2. Espandiamo i quadrati

\left\lvert2\left(x^2-y^2+2ixy\right)-2\left(x^2-y^2-2ixy\right)\right\rvert<3

3. E distribuiamo i $2$ cancelliamo i termini opposti

\left\lvert\cancel{2x^2}-\cancel{2y^2}+4ixy-\cancel{2x^2}+\cancel{2y^2}+4ixy\right\rvert<3

4. Per ottenere l’espressione semplificata

|8ixy|<3\iff8|ixy|<3

5. Per semplificare l’ultima espressione dobbiamo ricordare che il modulo di un numero complesso $z$ è dato da

|z|=\sqrt{\text{Re}(x)^2+\text{Im}(z)^2}

6. Dove nel nostro caso, poiché abbiamo $\text{Re}(z)=0$ , abbiamo

|z|=\sqrt{0^2+(xy)^2}=\sqrt{(xy)^2}=|xy|

7. Dove dobbiamo distinguere tra le $|\cdot|$ attorno alla $z$ che rappresentano il modulo del numero complesso $z$ e le $|\cdot|$ attorno a $xy$ , che sono invece il valore assoluto di $xy$ . Bisogna infatti ricordare che, in generale, $\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|$ mentre scrivere soltanto $\sqrt{\alpha^2}=\alpha$ è sbagliato.
L’espressione da studiare è dunque

|xy|<\frac{3}{8}

8. Che possiamo dividere nel modo seguente per togliere il valore assoluto

\begin{cases}xy<\displaystyle\frac{3}{8}&\text{se}\quad xy>0\\-xy<\displaystyle\frac{3}{8}&\text{se}\quad xy<0\end{cases}

9. E possiamo ulteriormente dividere in quattro altre equazioni distinguendo i diversi casi

\text{Caso 1: }\\\begin{cases}x>0&y<\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\\[10pt]x<0&y>\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\end{cases}\\[12pt]\text{Caso 2:}\\\begin{cases}x>0&y>\displaystyle-\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\\[10pt]x<0&y<\displaystyle-\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\end{cases}

10. Che sono quattro iperboli da rappresentare nel piano di Gauss come nel grafico seguente

Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.

Quanto difficile è stato l’esercizio? (5 è il massimo della difficoltà)

[Total: 0 Average: 0]

Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.

Correlati

Questa pagina è stata utile?

SìNo

Correlati

Altri esercizi