Esercizio numeri complessi esame #3
Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni di
\left\lvert2\bar{z}^2-2z^2\right\rvert<3Suggerimento #1
Semplificare il più possibile l’espressione sostituendo z=x+iy.
Suggerimento #2
Dopo aver semplificato il più possibile ragionare dividendo i diversi casi generati dalla presenza del valore assoluto. Pensare al problema in maniera grafica potrebbe essere d’aiuto.
Svolgimento
1. Sostituiamo z=x+iy all’interno dell’espressione assegnata
\left\lvert2(x+iy)^2-2(x-iy)^2\right\rvert<3
2. Espandiamo i quadrati
\left\lvert2\left(x^2-y^2+2ixy\right)-2\left(x^2-y^2-2ixy\right)\right\rvert<3
3. E distribuiamo i 2 cancelliamo i termini opposti
\left\lvert\cancel{2x^2}-\cancel{2y^2}+4ixy-\cancel{2x^2}+\cancel{2y^2}+4ixy\right\rvert<34. Per ottenere l’espressione semplificata
|8ixy|<3\iff8|ixy|<3
5. Per semplificare l’ultima espressione dobbiamo ricordare che il modulo di un numero complesso z è dato da
|z|=\sqrt{\text{Re}(x)^2+\text{Im}(z)^2}6. Dove nel nostro caso, poiché abbiamo \text{Re}(z)=0, abbiamo
|z|=\sqrt{0^2+(xy)^2}=\sqrt{(xy)^2}=|xy|7. Dove dobbiamo distinguere tra le |\cdot| attorno alla z che rappresentano il modulo del numero complesso z e le |\cdot| attorno a xy, che sono invece il valore assoluto di xy. Bisogna infatti ricordare che, in generale, \sqrt{\alpha^2}=|\alpha| mentre scrivere soltanto \sqrt{\alpha^2}=\alpha è sbagliato.
L’espressione da studiare è dunque
|xy|<\frac{3}{8}8. Che possiamo dividere nel modo seguente per togliere il valore assoluto
\begin{cases}xy<\displaystyle\frac{3}{8}&\text{se}\quad xy>0\\-xy<\displaystyle\frac{3}{8}&\text{se}\quad xy<0\end{cases}9. E possiamo ulteriormente dividere in quattro altre equazioni distinguendo i diversi casi
\text{Caso 1: }\\\begin{cases}x>0&y<\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\\[10pt]x<0&y>\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\end{cases}\\[12pt]\text{Caso 2:}\\\begin{cases}x>0&y>\displaystyle-\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\\[10pt]x<0&y<\displaystyle-\frac{1}{x}\cdot\frac{3}{8}\end{cases}10. Che sono quattro iperboli da rappresentare nel piano di Gauss come nel grafico seguente
Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.