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Date due funzioni f e g entrambe infinitesime per x\to x_0, diciamo che:
- f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g se
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0Nota bene: usiamo quindi la notazione degli o-piccoli per descrivere il comportamento di f, scrivendo che
f(x)=o(g(x))
Che si legge come: la funzione f(x) è un o-piccolo di g(x) quando x\to x_0, dunque per valori sufficientemente vicini a x_0 la funzione f(x) viene completamente “mangiata” da g(x). Per le regole che governano l’algebra degli o-piccolo fare riferimento alla relativa pagina.
- f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g se
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty- f e g hanno lo stesso ordine di infinito se
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l\neq\{0,\,\infty\}Nota bene: nel caso in cui l=1 i due infinitesimi si dicono equivalenti. Scriveremo inoltre che
f\sim g
Ovvero che f “si comporta come” g quando x\to x_0. Utilizzeremo molto questa proprietà per approssimare funzioni complesse con delle funzioni che hanno un comportamento simile nel punto che vogliamo studiare, ma hanno un’espressione più facile da gestire nei calcoli.
Nota bene: nel caso di funzioni polinomiali infinitesime, trovare un infinitesimo equivalente per la funzione significa trovare il termine di grado più basso del polinomio. Per esempio, nella seguente espressione il termine che meglio approssima il polinomio f(x) quando x\to0 è 2x
f(x)=47x^{10}+\frac{9}{4}x^5-\pi x^4+2x\sim 2xTutto ciò che è di grado maggiore rispetto al 2x (che è di grado 1) sarà quindi da considerare come un o-piccolo di tale valore.