Serie armonica generalizzata con logaritmo ed esponenziale

Home » Teoria serie numeriche » 📋 URL

Data una serie del tipo

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{e^{\tau n}\cdot n^{\alpha}\left[\log(n)\right]^{\beta}}\quad\alpha,\,\beta,\tau\in\R

Tale serie ha un comportamento

Convergente se $\tau>0$ e $\alpha,\,\beta$ qualsiasi
Divergente se $\tau<0$ e $\alpha,\,\beta$ qualsiasi
Se $\tau=0$ la serie diventa la normale serie armonica generalizzata con il logaritmo, dunque bisogna studiarla tramite quelle regole

Nota bene: il segno di $\tau$ determina la posizione a numeratore/denominatore dell’esponenziale, che è un infinito di ordine maggiore rispetto alle altre quantità, dunque la convergenza/divergenza della serie è sempre dovuta a tale termine.

Questa pagina è stata utile?

SìNo