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Date due funzioni f e g entrambe infinite per x\to x_0, diciamo che:
- f è un infinito di ordine superiore rispetto a g se
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty- f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g se
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0- f e g sono infiniti dello stesso ordine se
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l\in\R\backslash\{0\}Nota bene: nel caso in cui quest’ultimo limite valga 1 diciamo che f e g sono degli infiniti equivalenti per x\to x_0. Scriveremo
f\sim g
Utilizzeremo molto questa proprietà per approssimare funzioni complesse con delle funzioni che hanno un comportamento simile nel punto che vogliamo studiare, ma hanno un’espressione più facile da gestire nei calcoli.
Nota bene: nel caso di funzioni polinomiali infinite, trovare un infinito equivalente per la funzione significa trovare il termine di grado più alto del polinomio. Per esempio, nella seguente espressione il termine che meglio approssima il polinomio f(x) quando x\to+\infty è 47x^{10}
f(x)=47x^{10}+\frac{9}{4}x^5-\pi x^4+2x\sim 47x^{10}Tutto ciò che è di grado maggiore rispetto al 47x^{10} (che è di grado 10) possiamo dunque non considerarlo per il resto dei calcoli: il 47x^{10} sarà un approssimazione sufficiente a studiare l’andamento della funzione.