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Esercizio limiti introduzione #2
Calcolare
\lim_{x\to0^+}\dfrac{\log(\sin(x))}{\log(x)}Suggerimento #1
Poiché stiamo studiando delle quantità che tendono a 0 quando x\to0^+ possiamo usare gli sviluppi di Taylor notevoli per semplificare l’espressione.
Suggerimento #2
Sviluppare dapprima il seno e, una volta espanso, provare a trovare un modo per espandere anche il logaritmo. Può essere utile ricordare la seguente proprietà dei logaritmi
\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)
Suggerimento #3
Ricordare che il limite (non importa in quale variabile) di una costante, qualunque essa sia, è la costante stessa.
Svolgimento
1. Poiché stiamo studiando un limite con un seno come argomento del logaritmo e la quantità x in argomento al seno stesso tende a 0 quando x\to0^+ possiamo applicare gli sviluppi di Taylor per espandere tale funzione. Ci fermiamo al terzo ordine
\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)2. La quantità appena trovata è in realtà da inserire all’interno dell’argomento del logaritmo, dunque dobbiamo studiare
\log\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)\right)3. Raccogliendo a fattore comune la x
\log\left(x\left(1-\dfrac{x^2}{3!}\right)+o\left(x^3\right)\right)4. Da tale espressione possiamo ignorare (concettualmente) la presenza dell’o-piccolo e utilizzare la proprietà dei logaritmi del secondo suggerimento per riscrivere la funzione come
\log(x)+\log\left(1+\dfrac{-x^2}{3!}\right)+o\left(x^3\right)5. Riconoscendo ora nel logaritmo la possibilità di espanderlo con Taylor possiamo scrivere, fermandoci ancora una volta al terzo ordine (anche se di fatto il logaritmo presenta x^2 come termine di grado maggiore)
\log(x)+\left(-\dfrac{x^2}{3!}\right)+o\left(x^3\right)6. Reinserendo le quantità espanse all’interno del limite
\lim_{x\to0^+}\dfrac{\log(x)-\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}7. Dal numeratore possiamo ora raccogliere il logaritmo
\lim_{x\to0^+}\dfrac{\cancel{\log(x)}\left(1-\dfrac{\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}\right)}{\cancel{\log(x)}}8. L’espressione da studiare è dunque
\lim_{x\to0^+}\left(1-\dfrac{\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}\right)9. Dal terzo suggerimento possiamo riscrivere tale quantità come
\underbrace{\lim_{x\to0^+}1}_{\displaystyle=1}-\underbrace{\lim_{x\to0^+}\dfrac{\dfrac{x^2}{3!}}{\log(x)}}_{\displaystyle(\clubs)}10. Possiamo riscrivere (\clubs) come
\lim_{x\to0^+}\dfrac{x^2}{3!}\cdot\dfrac{1}{\log(x)}=011. Che possiamo semplicemente sostituire con 0 dalla prevalenza dell’x^2 sul logaritmo.
12. Il risultato finale è dunque soltanto la parte costante del limite, ovvero \fbox{1}.
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