Esercizio serie numeriche esame #5
Studiare il carattere della serie
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\log(n)}Suggerimento #1
Ricordare il prodotto notevole (a+b)(a-b) e provare a trovare un modo per applicarlo alla serie assegnata.
Suggerimento #2
Moltiplicare numeratore e denominatore per la quantità \left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right) semplificando in questo modo le radici al numeratore.
Suggerimento #3
Poiché stiamo studiando la serie verso +\infty possiamo sostituire le quantità in essa con le loro espressioni asintotiche.
Suggerimento #4
Possiamo ora studiare il comportamento della serie così trovata tramite la serie notevole armonica generalizzata con logaritmo e applicare il criterio del confronto per determinare il comportamento della serie originale assegnata.
Svolgimento
1. Per rimuovere le radici al numeratore possiamo moltiplicare la frazione per \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=1 sfruttando il prodotto notevole (a+b)(a-b)=a^2+b^2
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\log(n)}\cdot\underbrace{\textcolor{00ffa1}{\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}}_{\displaystyle 1}2. Svolgendo le moltiplicazioni e cancellando i termini opposti tra loro
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{\log(n)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{\cancel{n}+1-\cancel{n}}{\log(n)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}3. Per n\to+\infty possiamo semplificare \sqrt{n+1}\sim\sqrt{n} dunque abbiamo la serie
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\log(n)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n}\right)}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\log(n)\cdot2\sqrt{n}}4. Tale serie può infine essere riscritta equivalentemente come
\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^{1/2}\cdot\log(n)}ovvero come una serie armonica generalizzata con logaritmo, e poiché 1/2<1 tale serie diverge, e per il criterio del confronto anche la serie assegnata \fbox{diverge}.
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