Esercizio serie numeriche esame #1
Discutere il carattere della serie
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{3n^{5/2}\left(2^n+\log(n)\right)}{7n^2+e^{-n}}Suggerimento #1
Provare ad applicare il criterio del confronto asintotico, sostituendo le funzioni dell’esercizio con le loro espressioni asintotiche verso +\infty.
Svolgimento
1. Per semplificare la serie possiamo ragionare in maniera simile ai limiti. Poiché ne stiamo studiando il comportamento verso +\infty possiamo applicare il criterio del confronto asintotico
\text{Per }n\to+\infty\\2^n+\log(n)\sim 2^n\\e^{-n}=\frac{1}{e^n}=\frac{1}{``\infty"}\to02. Sostituendo nella serie originale i termini asintotici
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{3n^{5/2}\cdot2^n}{7^n}3. A questo punto possiamo scegliere di applicare il criterio del rapporto o quello della radice in maniera indifferente. Procediamo, ad esempio, con l’applicazione del criterio del rapporto
l=\lim_{n\to+\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\underbrace{\frac{3(n+1)^{5/2}\cdot2^{n+1}}{7^{n+1}}}_{\displaystyle b_{n+1}}\cdot\underbrace{\frac{7^n}{3n^{5/2}\cdot2^n}}_{\displaystyle b_n}4. Da cui possiamo cancellare i termini che si semplificano
\lim_{n\to+\infty}\frac{3(n+1)^{5/2}\cdot\cancel{2^n}\cdot2}{\cancel{7^n}}\cdot\frac{\cancel{7^n}}{3n^{5/2}\cdot2^n}5. Ottenendo
\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{7}\frac{(n+1)^{5/2}}{n^{5/2}}6. Che possiamo ora ulteriormente semplificare sapendo che per n\to+\infty si ha n+1\sim n
\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{7}\cdot\frac{(n+1)^{5/2}}{n^{5/2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{7}\cdot\underbrace{\frac{\cancel{n^{5/2}}}{\cancel{n^{5/2}}}}_{=\,\,1}=\frac{2}{7}=l7. A questo punto la parte di calcoli è terminata ed è sufficiente ricordarsi che poiché 2/7<1, la serie analizzata tramite il criterio del rapporto converge, e dalla sua convergenza otteniamo anche la convergenza della serie analizzata tramite il criterio del confronto asintotico, nonché di quella originale assegnata nel testo dell’esercizio.
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