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Funzione con i numeri complessi da esprimere in forma algebrica e determinazione del dominio
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Home » Analisi 1 » Numeri complessi esame »

Esercizio numeri complessi esame #4

Data

f(z)=2+iziz+1f(z)=\frac{2+iz}{iz+1}

determinare il dominio e determinare tutti gli zCz\in\mathbb{C} tali che f(z)=zf(z)=z. Esprimere tutte le soluzioni in forma algebrica.

Suggerimento #1

Scrivere il dominio dell’equazione.

Suggerimento #2

Il dominio della funzione è ziz\neq i. Procedere ora con la semplificazione dell’espressione fino a ottenere un’equazione di secondo grado.

Suggerimento #3

L’equazione dovrebbe risolversi in una normale equazione di secondo grado in C\mathbb{C}, risolvibile tramite il consueto metodo.

Suggerimento #4
6i=3+i3\sqrt{6i}=\sqrt{3}+i\sqrt{3}
Svolgimento

1. Si tratta di risolvere l’equazione

2+iziz+1=z\frac{2+iz}{iz+1}=z

2. Per prima cosa individuiamo il dominio dell’equazione assegnata in C\mathbb{C}. Imponiamo dunque il denominatore di f(z)f(z) diverso da 00

iz+i0iz+i\neq0

Ovvero

z1i1iiii1iz\neq-\frac{1}{i}\neq-\frac{1\cdot\textcolor{00ffa1}{i}}{i\cdot\textcolor{00ffa1}{i}}\neq-\frac{i}{-1}\neq i

Avremo dunque come dominio della funzione ziz\neq i.

3. Riscriviamo ora l’equazione semplificata tramite la moltiplicazione con (iz+1)(iz+1) da entrambi i lati dell’uguale

2+iziz+1=z    2+iz=z(iz+1)\frac{2+iz}{iz+1}=z\iff 2+iz=z(iz+1)

4. Che possiamo ora risolvere distribuendo la zz a destra dell’uguale

2+iz=iz2+z2+iz=iz^2+z

5. E riportando l’equazione in forma standard otteniamo

iz2z+2+iz=0    iz2+z2iz=0-iz^2-z+2+iz=0\iff iz^2+z-2-iz=0

6. Riscrivendo i termini

iaz2+(1i)bz2c=0\underbrace{i}_{\displaystyle a}\cdot z^2+\underbrace{(1-i)}_{\displaystyle b}\cdot z\underbrace{-2}_{\displaystyle c}=0

7. E tramite la formula risolutiva otteniamo

z1,2=b±b24ac2a=(1i)±(i1)24i(2)2iz_{1,\,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(1-i)\pm\sqrt{(i-1)^2-4i(-2)}}{2i}

8. Espandendo i termini

1+i±112i+8i2i=1+i±6i2i\frac{-1+i\pm\sqrt{\cancel{1}-\cancel{1}-2i+8i}}{2i}=\frac{-1+i\pm\sqrt{6i}}{2i}
Espansione di 6i

a. Aggiungiamo ±3\pm3 al 6i6i facendolo, di fatto, rimanere invariato

6i=6i+336i=6i\textcolor{00ffa1}{+3-3}

b. Possiamo ora esprimere il 3-3 come 3i23i^2, infatti i2=1i^2=-1.

c. Otteniamo così

6i+3+3i2\textcolor{33eae4}{6i}+\textcolor{00ffa1}{3}+3i^2

d. Riscrivendo il 6i=36i\textcolor{33eae4}{6i=\sqrt{36}\cdot i}, il 3=32\textcolor{00ffa1}{3=\sqrt{3}^2} e il 3i2=(3i)23i^2=(\sqrt{3}\cdot i)^2 otteniamo

36i+32+(3i)2\textcolor{33eae4}{\sqrt{36}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2

e. Che possiamo ancora una volta riscrivere come

2233i+32+(3i)2\textcolor{33eae4}{\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 3}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2

f. Portando fuori il 22\textcolor{33eae4}{2^2} fuori dalla radice e applicando le proprietà delle radici

233i+32+(3i)2\textcolor{33eae4}{2\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot i}+\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}+(\sqrt{3}\cdot i)^2

g. Riscrivendo i termini

232i2ab+32a2+(3i)2b2\underbrace{\textcolor{33eae4}{2\sqrt{3}^2\cdot i}}_{\displaystyle 2ab}+\underbrace{\textcolor{00ffa1}{\sqrt{3}^2}}_{\displaystyle a^2}+\underbrace{(\sqrt{3}\cdot i)^2}_{\displaystyle b^2}

h. Possiamo riconoscere il quadrato di un binomio che ha come termini a=3a=\sqrt{3} e b=3ib=\sqrt{3}\cdot i. Riscrivendolo come tale otteniamo

(3+i3)2=6i\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2=6i

i. Verifichiamo di aver svolto correttamente i passaggi

(3+i3)2=32+(i3)2+233i\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2=\sqrt{3}^2+\left(i\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot i

j. Poiché il 6i6i originale era sotto una radice dobbiamo fare lo stesso con la sua nuova forma equivalente appena trovata

6i=(3+i3)2=3+i3\sqrt{6i}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{3}+i\sqrt{3}

9. Riscrivendo ora l’espressione del passaggio 8 con la nuova forma di 6i\sqrt{6i} otteniamo

1+i±6i2i={1+i+6i2i1+i6i2i{1+i+3+i32i(1)1+i3i32i(2)\frac{-1+i\pm\sqrt{6i}}{2i}=\displaystyle \begin{cases}\displaystyle\frac{-1+i+\sqrt{6i}}{2i}\\[10pt]\displaystyle \frac{-1+i-\sqrt{6i}}{2i}\end{cases}\to\displaystyle\begin{cases}\displaystyle\frac{-1+i+\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{2i}&(1)\\[10pt]\displaystyle\frac{-1+i-\sqrt{3}-i\sqrt{3}}{2i}&(2)\end{cases}

10. Che sono le nuove equazioni da risolvere per ottenere le soluzioni richieste. Iniziamo col risolvere (1)(1)

11. Dividiamo il numeratore in parte reale e parte immaginaria (31)+(3+1)i\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)i e distribuiamo il denominatore

312i+(1+3)i2i\frac{\sqrt{3}-1}{2i}\cdot+\frac{(1+\sqrt{3})\cdot i}{2\cdot i}

12. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per ii

312iii+(1+3)i2i\frac{\sqrt{3}-1}{2i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}+\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\cancel{i}}{2\cdot\cancel{i}}

13. Otteniamo a questo punto la forma desiderata per (1)(1)

1+32Re+132Imi\underbrace{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Re}}+\underbrace{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Im}}\cdot i

14. Eseguiamo gli stessi passaggi del caso (1)(1) distribuendo il meno che si viene a creare sulla prima frazione al numeratore della stessa

15. Passiamo ora alla risoluzione di (2)(2)

1+i3i32i=132iii+(13)i2i=132Re+1+32Imi\begin{align*}\frac{-1+i-\sqrt{3}-i\sqrt{3}}{2i}&=\frac{-1-\sqrt{3}}{2i}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{i}{i}}+\frac{(1-\sqrt{3})\cdot\cancel{i}}{2\cdot\cancel{i}}\\[10pt]&=\underbrace{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Re}}+\underbrace{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}_{\displaystyle\text{Im}}\cdot i\end{align*}

16. Mettendo insieme le soluzioni di (1)(1) e (2)(2) possiamo riscrivere l’equazione in forma più compatta come

1±32+132i\fbox{$\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}+\frac{1\mp\sqrt{3}}{2}\cdot i$}

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