Esercizio numeri complessi esame #7
Disegnare nel piano complesso il seguente insieme
S=\left\{z\in C:\text{Re}\left[\frac{z-1}{z-i}\right]\geq0;\,\,\left|z+1-i\right|\leq1\right\}Suggerimento #1
Analizzare separatamente le due componenti dell’insieme S.
Suggerimento #2
Per la prima disequazione sostituire z=x+iy e cercare di portare la i a numeratore sfruttando il prodotto notevole (a+b)(a-b).
Suggerimento #3
\text{Re}[x+iy]\geq0\iff x\geq0. Ricordare inoltre come disegnare una circonferenza dalla sua equazione.
Suggerimento #4
Sostituire z=x+iy anche per la seconda equazione e ricordarsi come calcolare il modulo di un numero complesso e, ancora una volta, come disegnare una circonferenza dalla sua equazione.
Svolgimento
1. Consideriamo separatamente le equazioni assegnate dal problema
(1)=\text{Re}\left[\frac{z-1}{z-i}\right]\geq0\\[10pt](2)=\left|z+1-i\right|\leq12. Partiamo risolvendo la (1) sostituendo z=x+iy
\text{Re}\left[\dfrac{x+iy-1}{x+iy-i}\right]\geq03. Dividendo parte reale e immaginaria del numero tra le parentesi quadre
\text{Re}\left[\dfrac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)}\right]\geq04. Possiamo ora moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per \dfrac{x-i(y-1)}{x-i(y-1)}=1 sfruttando il prodotto notevole (a+b)(a-b)=a^2+b^2 e rimuovere la componente immaginaria dal denominatore
\text{Re}\left[\dfrac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)}\cdot\textcolor{00ffa1}{\dfrac{x-i(y-1)}{x-i(y-1)}}\right]\geq05. Svolgendo le moltiplicazioni
\text{Re}\left[\dfrac{(x-1)x-i(y-1)(x-1)+xyi+(y-1)y}{x^2-\left[(y-1)i\right]^2}\right]\geq06. Espandendo ulteriormente le moltiplicazioni rimanenti e sostituendo i^2=-1 al denominatore
\text{Re}\left[\dfrac{x^2-x+i(xy-y-x+1)+xyi+y^2-y}{x^2-\left(-(y-1)^2\right)}\right]7. Moltiplicando a numeratore ed espandendo il quadrato a denominatore
\text{Re}\left[\dfrac{x^2-x-\cancel{xyi}+yi+xi-i+\cancel{xyi}+y^2-y}{x^2+y^2+1-2y}\right]\geq08. Dopo aver cancellato i termini opposti possiamo dividere il numero complesso tra le parentesi quadre nella sua parte reale e immaginaria
\text{Re}\left[\dfrac{x^2-x+y^2-y}{x^2+y^2+1-2y}+\dfrac{y+x-1}{x^2+y^2+1-2y}i\right]\geq09. Ricordando il terzo suggerimento si tratta di risolvere
\dfrac{\overbrace{x^2-x+y^2-y}^{\displaystyle N(x)}}{\underbrace{x^2+y^2-2y+1}_{\displaystyle D(x)}}\geq010. Per risolvere tale disequazione dobbiamo trattare separatamente il numeratore N(x) e il denominatore D(x) studiandone il segno. Partiamo da N(x): studiamo l’equazione associata
N(x)\geq0\iff x^2+y^2-x-y\geq0\\\Downarrow\\x^2+y^2-x-y=0
11. Ricordando il metodo per disegnare una circonferenza dalla sua equazione otteniamo i seguenti valori per centro e raggio della circonferenza
\begin{aligned}&\text{Centro: }\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\right)\\[20pt]&\text{Raggio: }\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}12. Poiché stiamo studiando quando il segno della disequazione è positiva dovremo prendere i valori esterni alla circonferenza appena individuata. Per quando riguarda il denominatore invece possiamo semplicemente osservare che D(x)>0\,\,\forall\,x,\, y\in\R—è infatti possibile provare tale risultato inserendo nella disequazione dei valori di test “ragionevoli”. La circonferenza individuata graficamente è la seguente
13. Per l’equazione (2) possiamo ancora una volta applicare la sostituzione z=x+iy
|z+1-i|\leq1\\\Downarrow\\|x+iy+1-i|\leq0
14. Dividendo parte reale e immaginaria
|(x+1)+i(y-1)|\leq0
15. Ricordando ora come calcolare il modulo di un numero complesso si ottiene
\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\leq116. Svolgendo le moltiplicazioni
\sqrt{x^2+1+2x+y^2+1-2y}\leq117. Poiché l’argomento della radice è sicuramente positivo possiamo elevare entrambi i membri della disequazione al quadrato per rimuovere la radice
\sqrt{x^2+1+2x+y^2+1-2y}^{\textcolor{00ffa1}{2}}\leq1^{\textcolor{00ffa1}{2}}\\\Downarrow\\x^2+1+2x+y^2+1-2y\leq118. Riordinando i termini e cancellando le quantità opposte
x^2+\cancel{1}+2x+y^2+1-2y-\cancel{1}\leq019. Otteniamo l’espressione di una nuova circonferenza che possiamo studiare tramite la sua equazione associata
x^2+y^2+2x-2y+1\leq0\\\Downarrow\\x^2+y^2+2x-2y+1=0
20. Di cui possiamo calcolare ancora una volta centro e raggio
\begin{aligned}&\text{Centro: }\left(-\frac{2}{2},\,-\frac{-2}{2}\right)=(-1,\,1)\\[20pt]&\text{Raggio: }\sqrt{1+\cancel{1}-\cancel{1}}=\sqrt{1}=1\end{aligned}21. Poiché stiamo calcolando quando la disequazione è negativa dovremo questa volta prendere i valori interni. Graficamente abbiamo
22. Unendo il grafico del paragrafo 12 con quello del precedente si ottiene
23. Poiché vogliamo prendere le soluzioni che soddisfano entrambe le disequazioni l’insieme delle soluzioni è quello rappresentato nel grafico seguente
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