Esercizio numeri complessi esame #2
Determinare il luogo geometrico dei punti z\in\mathbb{C} tali che
\left\lvert e^{z\lvert z\rvert-2z+i}\right\rvert=1Suggerimento #1
Ricordare l’equivalenza tra le seguenti espressioni \left\lvert e^w\right\rvert=e^{\text{Re}(w)}.
Suggerimento #2
Ricordare che e^0=1, quindi…
Svolgimento
1. Per risolvere l’esercizio è estremamente utile ricordare la proprietà del primo suggerimento. Nel nostro caso possiamo infatti esprimere w come
w=z\lvert z\rvert-2z+i
2. Da cui ricaviamo, dopo aver effettuato la sostituzione z=x+iy
w=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}-2(x+iy)3. Poiché del numero complesso w ci interessa la sua parte reale possiamo cancellare i termini immaginari
\text{Re}(w)=x\sqrt{x^2+y^2}+\cancel{iy\sqrt{x^2+y^2}}-2x+\cancel{2iy+i}4. A questo punto abbiamo riportato le parti principali del problema in una forma più semplice. Dalla stessa uguaglianza del primo suggerimento sappiamo inoltre che
\left\lvert e^w\right\rvert=1\iff e^{\displaystyle\text{Re}(w)}=15. Quindi per trovare le soluzioni dobbiamo ci servono i valori di \text{Re}(w) che messi ad esponente della e fanno diventare unitaria l’intera espressione. Per ottenere tale risultato sappiamo che qualunque numero elevato alla zero porta ad avere come risultato 1 (suggerimento 2), quindi nel nostro caso basta imporre
\text{Re}(w)=06. Ovvero
\text{Re}(w)=x\sqrt{x^2+y^2}-2x=07. Da cui possiamo raccogliere la x a fattore comune
x\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)=08. E ricavare subito la soluzione x=0. Per trovare le altre soluzioni serve sapere quando
\sqrt{x^2+y^2}-2=0\iff\sqrt{x^2+y^2}=29. Che è molto vicina all’espressione di una circonferenza e possiamo portarla nella sua forma standard elevando entrambi i membri al quadrato
x^2+y^2=4
10. Sappiamo che il 4 rappresenta il raggio al quadrato della circonferenza, dunque l’effettivo valore del raggio è r=2, che possiamo utilizzare per tracciare graficamente la circonferenza. Si tratta ora di trovare l’intersezione tra la soluzione x=0, ovvero una retta, e la circonferenza. Di seguito viene mostrata l’interpretazione grafica
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