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Esercizio integrali esame #8
Calcolare l’integrale
\int_{0}^{+\infty}x^2\sin\left(\arcsin\left(|x|e^{-x^2}\right)\right)\,dxSuggerimento #1
Le funzioni seno e arcoseno sono inverse tra loro quindi possono essere tolte entrambe, lasciando quindi da risolvere
\int_{0}^{+\infty}x^2\cdot|x|e^{-x^2}\,dxSuggerimento #2
Poiché x\geq0 (siamo studiando l’integrale da 0 a +\infty) possiamo togliere il valore assoluto sulla x, per cui dobbiamo risolvere
\int_{0}^{+\infty}x^2\cdot xe^{-x^2}\,dxSuggerimento #3
Per risolvere l’integrale bisogna applicare prima la tecnica di sostituzione, seguita dall’integrazione per parti.
Suggerimento #4
Sostituire x^2=u.
Svolgimento
1. Dopo aver semplificato l’espressione come nei primi due suggerimenti, ci troviamo con la seguente espressione
\int_{0}^{+\infty}x^2\cdot xe^{-x^2}\,dx2. Possiamo effettuare la sostituzione x^2=u ottenendo così du=\dfrac{d}{dx}\left[x^2\right]=2x\,dx. Gli estremi d’integrazione rimangono invece invariati, infatti
\text{se }x=0\text{ allora }u=2\cdot0=0\\\text{se }x=+\infty\text{ allora }u=2\cdot+\infty=+\infty3. Troviamo dunque l’espressione seguente, dove abbiamo aggiungo un fattore 1/2 fuori dall’integrale per bilanciare il 2 inserito all’interno per facilitare la sostituzione
\textcolor{00ffa1}{\dfrac{1}{2}}\int_{0}^{+\infty}\textcolor{00ffa1}{
2}\cdot x^2\cdot xe^{-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\underbrace{u}_{\displaystyle g}\cdot \underbrace{e^{-u}}_{\displaystyle f'}\,du4. Possiamo ora risolvere l’integrale per parti ricordando che \displaystyle\int e^{-u}=-e^{-u}
\frac{1}{2}\left\{\left[-u\cdot e^{-u}\right]_{0}^{+\infty}\textcolor{00ffa1}{-}\int_{0}^{+\infty}\textcolor{00ffa1}{-}e^{-u}\,du\right\}5. Moltiplicando i meno evidenziati ci troviamo a dover risolvere un altro integrale \displaystyle\int e^{-u}=-e^{-u}, dopo di che non ci resta che trovare il risultato finale valutando negli estremi di integrazione
\frac{1}{2}\left\{\underbrace{\left[-u\cdot e^{-u}\right]_{0}^{+\infty}}_{\displaystyle(a)}\textcolor{00ffa1}{
+}\underbrace{\left[-e^{-u}\right]_{0}^{+\infty}}_{\displaystyle(b)}\right\}6. Valutando la parte (a) quando u\to+\infty (ricordando gli ordini di infinito) otteniamo
(a)=\underbrace{\dfrac{-u}{e^{u}}}_{\displaystyle\to0}-\underbrace{0\cdot e^{0}}_{\displaystyle0}=0-0=07. Mentre per la parte (b)
(b)=\underbrace{\frac{-1}{e^{u}}}_{\displaystyle\to0}-\underbrace{\left(-e^{0}\right)}_{\displaystyle-1}=0-(-1)=18. Il risultato finale sarà quindi dato da
\frac{1}{2}\left[(a)+(b)\right]=\frac{1}{2}[0+1]=\fbox{$\displaystyle\frac{1}{2}$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
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