Esercizio integrali esame #10

Calcolare il valore del seguente integrale

\int\frac{x+\sqrt{x+1}}{2x+1}\,dx

Suggerimento #1

Semplificare l’integrale tramite la sostituzione $x+1=t^2$ .

Suggerimento #2

Dopo la sostituzione si ottiene una frazione in cui il numeratore è di grado maggiore del denominatore. Dobbiamo usare il metodo d’integrazione per funzioni razionali.

Suggerimento #3

Per uno dei nuovi integrali trovati dopo aver semplificato la frazione bisogna decomporre il numeratore tramite il metodo dei fratti semplici.

Suggerimento #4

Saranno infine necessarie due ulteriori sostituzioni con $u=2t\pm\sqrt{2}$ .

Svolgimento

1. Semplifichiamo la funzione integranda tramite la sostituzione del primo suggerimento $x+1=t^2$ , dalla quale si ottiene $x=t^2-1$ e di conseguenza $dx=\dfrac{d}{dt}\left[t^2+1\right]=2t\,dt$

\int\frac{t^2-1+\sqrt{t^2}}{2\left(t^2-1\right)+1}\cdot2t\,dt

2. Semplificando il $\sqrt{t^2}$ a numeratore e distribuendo la moltiplicazione con il $2$ a denominatore

\int\frac{\left(t^2-1+t\right)2t}{2t^2-2+1}\,dt

3. Svolgendo la moltiplicazione a numeratore

\int\frac{2t^3+2t^2-2t}{2t^2-1}\,dt

4. Poiché stiamo integrando una frazione in cui il grado del numeratore è maggiore rispetto a quello del denominatore, tramite il metodo d’integrazione per funzioni razionali dobbiamo eseguire la divisione tra il polinomio a numeratore e quello a denominatore

\begin{aligned}&2t^3+2t^2-2t\hspace{0.6cm}\mid 2t^2-1\\&2t^3\hspace{0.8cm}\,\,-t\hspace{0.6cm}\,\,\mid t+1\hspace{0.4cm}\\&\overline{\hspace{0.9cm}2t^2-t\hspace{0.2cm}\hspace{0.6cm}}\\&\hspace{0.9cm}2t^2\hspace{0.6cm}\,-1\\&\overline{\hspace{1.6cm}-t+1}\end{aligned}

5. Ottenendo così che il polinomio $2t^3+2t^2-2t$ è divisibile per i due fattori $2t^2-1$ e $t+1$ con un resto di $-t+1$

2t^3+2t^2-2t=\left(\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}\right)\cdot(t+1)+(-t+1)

6. Dividendo entrambi i termini per $\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}$ ricomponiamo, a sinistra dell’uguale, la frazione originale che vogliamo integrare. Abbiamo dunque trovato una sua forma equivalente che utilizzeremo nel resto dei calcoli

\begin{aligned}\frac{2t^3+2t^2-2t}{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}&=\frac{\cancel{\left(\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}\right)}\cdot(t+1)}{\cancel{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}}+\frac{-t+1}{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}\\[10pt]&=t+1+\frac{-t+1}{\textcolor{00ffa1}{2t^2-1}}\end{aligned}

7. L’integrale del paragrafo 3 è dunque equivalente al seguente

\int\left(t+1+\frac{-t+1}{2t^2-1}\right)\,dt

8. Che possiamo riscrivere utilizzando la linearità dell’integrale

\underbrace{\int t\,dt}_{\displaystyle(1)}+\underbrace{\int dt}_{\displaystyle(2)}+\underbrace{\int\frac{-t+1}{2t^2-1}\,dt}_{\displaystyle(3)}

9. L’integrale $(1)$ si risolve banalmente tramite

(1)=\frac{t^2}{2}+c

10. E similmente per l’integrale $(2)$ si ha

(2)=t+c

11. Per l’integrale $(3)$ abbiamo invece bisogno di lavorare di più. Utilizzeremo il metodo dei fratti semplici notando che il denominatore può essere riscritto come

2t^2-1=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)

12. Dunque dovremo trovare due numeri $A$ e $B$ che soddisfino

\frac{-t+1}{2t^2-1}=\frac{A}{\sqrt{2}t+1}+\frac{B}{\sqrt{2}t-1}

13. Portando a denominatore comune la parte a destra dell’uguale

\frac{-t+1}{2t^2-1}=\frac{A(\sqrt{2}t-1)+B(\sqrt{2}t+1)}{(\sqrt{2}t+1)\cdot(\sqrt{2}t-1)}

14. Da cui possiamo cancellare i denominatori per l’uguaglianza del paragrafo 11 e svolgere le moltiplicazioni della parte di destra, ottenendo

-t+1=A\sqrt{2}t-A+B\sqrt{2}t+B

15. Eguagliando i termini simili

\begin{cases}A\sqrt{2}\cancel{t}+B\sqrt{2}\cancel{t}=-\cancel{t}\\-A+B=1\end{cases}\to\begin{cases}A\sqrt{2}+B\sqrt{2}=-1\\-A+B=1\end{cases}

16. Per trovare i valori di $A$ e $B$ dobbiamo risolvere il sistema che non presenta alcuna particolarità (dunque non riportiamo i passaggi) e può essere risolto in maniera standard per trovare

\begin{cases}A=\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\[10pt]B=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\end{cases}

17. L’uguaglianza del paragrafo 12 diventa dunque

\frac{-t+1}{2t^2-1}=\frac{\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t+1}+\frac{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t-1}

18. Che dovremo integrare

\int\left[\frac{\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t+1}+\frac{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}t-1}\right]\,dt

19. Riscrivendo le “doppie frazioni” come delle moltiplicazioni

\int\left[\frac{-\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}t+1}+\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}t-1}\right]\,dt

20. Svolgendo le moltiplicazioni

\int\left[-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2t+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2t-\sqrt{2}}\right]\,dt

21. Tramite linearità dell’integrale possiamo semplificare ulteriormente l’espressione, portando inoltre fuori dal simbolo di integrale tuti i termini costati

\underbrace{-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\int\frac{1}{2t+\sqrt{2}}\,dt}_{\displaystyle(a)}+\underbrace{\frac{\sqrt{2}-1}{2}\int\frac{1}{2t-\sqrt{2}}\,dt}_{\displaystyle(b)}

22. Risolviamo prima la parte $(a)$ . Per poter utilizzare la sostituzione del quarto suggerimento abbiamo bisogno di aggiungere un fattore $\textcolor{00ffa1}{2}$ all’interno dell’integrale, bilanciato naturalmente da un fattore $\textcolor{00ffa1}{1/2}$

\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\left(-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\right)\int\textcolor{00ffa1}{2}\cdot\frac{1}{2t+\sqrt{2}}\,dt

23. Possiamo ora sostituire $2t+\sqrt{2}=u$ , da cui otteniamo $du=\dfrac{d}{dt}\left[2t+\sqrt{2}\right]=2\,dt$

-\frac{\sqrt{2}-1}{4}\int\frac{1}{u}\,du

24. A questo punto possiamo trovare banalmente una primitiva di $1/u$ e riportarci tale risultato nella variabile $t$

-\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log(u)+c\Big\lvert_{\displaystyle u=2t+\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2t+\sqrt{2}\right)+c

25. Dobbiamo ora svolgere dei passaggi simili per il calcolo dell’integrale $(b)$ . Aggiungiamo ancora una volta un fattore $\textcolor{00ffa1}{2}$ all’interno dell’integrale da $\textcolor{00ffa1}{1/2}$

\textcolor{00ffa1}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}\int\textcolor{00ffa1}{2}\cdot\frac{1}{2t-\sqrt{2}}\,dt

26. Sostituendo con $u=2t-\sqrt{2}$ e $du=\dfrac{d}{dt}\left[2t-\sqrt{2}\right]=2\,dt$

\frac{\sqrt{2}-1}{4}\int\frac{1}{u}\,du

27. Che ha la stessa primitiva del paragrafo 24, valutata però in $u=2t-\sqrt{2}$ , ovvero

\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2t-\sqrt{2}\right)+c

28. È giunto ora il momento di ricomporre tutti i pezzi dell’integrale iniziale calcolati un po’ alla volta. L’integrale assegnato in partenza è infatti costituito dai sottointegrali $(1)$ , $(2)$ e $(3)$ , dove l’ultimo tra essi è composto a sua volta dai sottointegrali $(a)$ e $(b)$ . Per ottenere il risultato finale dovremo quindi sommare tutti i risultati trovati nei paragrafi 9, 10, 24 e 27, che ci portano a ottenere (le costanti $c$ le raggruppiamo per semplicità in una stessa costante col medesimo nome)

\textcolor{00ffa1}{(1)}+\textcolor{33eae4}{(2)}+\textcolor{00ffa1}{(a)}+\textcolor{33eae4}{(b)}\\\Downarrow\\\textcolor{00ffa1}{\frac{t^2}{2}}\textcolor{33eae4}{+t}\textcolor{00ffa1}{-\frac{\sqrt{2}+1}{4}\cdot\log\left(2t+\sqrt{2}\right)}\textcolor{33eae4}{+\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2t+\sqrt{2}\right)}+c

29. Riportando ora il risultato nella variabile di partenza $x=t^2-1$ otteniamo il risultato finale

\fbox{$\displaystyle\frac{x+1}{2}+\sqrt{x+1}-\frac{\sqrt{2}+1}{4}\cdot\log\left(2\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\right)+\frac{\sqrt{2}-1}{4}\cdot\log\left(2\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\right)+c$}

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