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Esercizio integrali esame #2
Calcolare l’integrale
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)+\sin(2x)}{4+\sin^2(x)}\,dxSuggerimento #1
Ricordare la formula trigonometrica che permette di espandere \sin(2x) in 2\sin(x)\cos(x), permettendo così di raccogliere il…
Suggerimento #2
Tramite la tecnica di sostituzione per semplificare l’espressione e poter poi dividere l’integrale originale in due sottointegrali sfruttandone la linearità.
Suggerimento #3
Uno dei due sottointegrali si può risolvere tramite l’arcotangente: provare a esprimere la funzione in maniera tale da rendere più evidente tale collegamento.
Suggerimento #4
L’altro sottointegrale si può risolvere tramite il logaritmo: provare a esprimere la funzione in maniera tale da rendere più evidente tale collegamento.
Svolgimento
1. Ricordando la formula trigonometrica \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) possiamo riscrivere l’integrale come
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)+2\sin(x)\cos(x)}{4+\sin^2(x)}\,dx2. A questo punto raccogliamo il coseno
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)\left[1+2\sin(x)\right]}{4+\sin^2(x)}\,dx3. E tramite la tecnica di sostituzione possiamo semplificare l’integrale ponendo \sin(x)=u, da cui possiamo ottenere i seguenti risultati per il du e i relativi estremi di integrazione
\sin(x)=u\\du=\cos(x)\,dx\\x=0\Rightarrow u=\sin(0)=0\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow u=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=14. L’espressione semplificata risulta dunque
\int_{0}^{1}\frac{1+2u}{4+u^2}\,du5. Che possiamo dividere in due sottointegrali dividendo il numeratore
\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{1}{4+u^2}\,du}_{(1)}+\underbrace{\int_{0}^{1}\frac{2u}{4+u^2}\,du}_{(2)}6. Risolviamo ora la parte (1). Possiamo raccogliere a fattore comune il 4 a denominatore
\int_{0}^{1}\frac{1}{4\left(1+\displaystyle\frac{u^2}{4}\right)}\,du7. Che è un’espressione molto simile a quella che sappiamo risolvere tramite l’arcotangente. È infatti sufficiente esprimere il 4 come 2^2 e portare fuori dall’integrale le costanti
\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\displaystyle\left(\frac{u}{2}\right)^2}\,du8. A questo punto abbiamo due possibilità: se ricordiamo a memoria le tecniche per risolvere un integrale di questo tipo possiamo scrivere direttamente
\frac{1}{4}\left[2\arctan\left(\frac{u}{2}\right)\right]_0^1=\frac{1}{2}\left[\arctan\left(\frac{1}{2}\right)-\underbrace{\cancel{\arctan(0)}}_{=\,\,0}\right]=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right)9. E trovare il risultato in maniera immediata, altrimenti possiamo ottenere lo stesso risultato tramite una nuova sostituzione, che ci porta ad avere
t=\frac{u}{2}\\[10pt]dt=\frac{1}{2}\,du\\[10pt]u=0\Rightarrow t=0\\[10pt]u=1\Rightarrow t=\frac{1}{2}10. Dunque l’integrale diventa
\frac{1}{4}\cdot2\int_{0}^{1/2}\frac{1}{1+t^2}\,dt11. Che possiamo riportare in maniera immediata all’arcotangente, e ci basta poi valutare negli estremi di integrazione
\frac{1}{2}\left[\arctan(t)\right]_0^{1/2}=\frac{1}{2}\left[\arctan\left(\frac{1}{2}\right)-\underbrace{\cancel{\arctan(0)}}_{=\,\,0}\right]=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right)Trovando, naturalmente, lo stesso risultato.
12. Per la parte (w) dell’integrale
\int_{0}^{1}\frac{2u}{4+u^2}\,du13. Possiamo ragionare ancora tramite la seguente sostituzione
u^2=t\\[10pt]dt=2t\,du\\[10pt]u=0\Rightarrow t=0\\[10pt]u=1\Rightarrow t=1
14. Che ci porta a semplificare l’espressione come
\int_{0}^{1}\frac{1}{4+t}\,dt15. La cui primitiva è la funzione logaritmo. Avremo infatti
\left[\log|4+t|\right]_0^1
16. Che possiamo però riscrivere come
\left[\log(4+t)\right]_0^1
Togliendo il valore assoluto, infatti la quantità t=u^2 è sicuramente positiva.
17. È ora sufficiente valutare il logaritmo negli estremi di integrazione
\log(4+1)-\log(4+0)=\log\left(\frac{5}{4}\right)18. E per trovare il risultato finale dell’integrale iniziale basta mettere insieme i risultati trovati per gli integrali (1) e (2), ovvero
\fbox{$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\log\left(\frac{5}{4}\right)$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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