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Esercizio limiti esame #9
Calcolare il limite
\lim_{x\to0}\frac{(1+\lambda x)^{1+\lambda x}-\sqrt{1+2\lambda x}}{\mu x^2+\log\left(1+x^3\right)}Con \lambda,\,\mu\in\R e \mu\neq0.
Suggerimento #1
\left(1+\lambda x\right)^{1+\lambda x}=\left(1+\lambda x\right)\cdot\left(1+\lambda x\right)^{\lambda x}. Ricordare inoltre la proprietà dei logaritmi per cui
\psi=e^{\log(\psi)}Suggerimento #2
Esprimere la quantità \left(1+\lambda x\right)^{\lambda x} tramite la proprietà dei logaritmi del primo suggerimento, ottenendo così un logaritmo che, poiché x\to0, può essere espanso tramite Taylor.
Suggerimento #3
Dopo aver espanso il logaritmo con Taylor (è sufficiente fermarsi al primo ordine) si trova
e^{\lambda x(\lambda x+o(x))}che è un’esponenziale che, a sua volta, può essere espansa al primo ordine per x\to0.
Suggerimento #4
Sviluppare con Taylor anche il resto delle quantità, ricordando che
\log\left(1+x^3\right)=x^3+o\left(x^3\right)=o\left(x^2\right)
Svolgimento
1. Diamo un nome alle parti del limite che andremo a studiare singolarmente
\lim_{x\to0}\frac{\overbrace{(1+\lambda x)^{1+\lambda x}}^{\displaystyle(1)}-\overbrace{\sqrt{1+2\lambda x}}^{\displaystyle(2)}}{\mu x^2+\underbrace{\log\left(1+x^3\right)}_{\displaystyle(3)}}2. Partiamo con la risoluzione della parte (1). Come nel primo suggerimento possiamo espandere tale espressione come
\left(1+\lambda x\right)^{1+\lambda x}=\left(1+\lambda x\right)\cdot\left(1+\lambda x\right)^{\lambda x}3. Ricordando ora la proprietà dei logaritmi del primo suggerimento possiamo esprimere la stessa quantità come
\left(1+\lambda x\right)\cdot e^{\displaystyle\log\left(1+\lambda x\right)^{\lambda x}}=\left(1+\lambda x\right)\cdot e^{\displaystyle\lambda x\log\left(1+\lambda x\right)}4. A questo punto notiamo che \lambda x\to0 quando x\to0, quindi possiamo espandere il logaritmo ad esponente della e con Taylor, fermandoci al primo ordine
\textcolor{00ffa1}{\log(1+\lambda x)=\lambda x+o(x)}\\\Downarrow\\\left(1+\lambda x\right)\cdot e^{\displaystyle\lambda x\cdot\lambda x}=(1+\lambda x)\cdot e^{\displaystyle \lambda^2x^2}5. Poiché l’esponente della e è ancora infinitesimo per x\to0, possiamo espandere anch’esso con Taylor al primo ordine
\textcolor{00ffa1}{e^{\lambda^2x^2}=1+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)}\\\Downarrow\\(1+\lambda x)\left(1+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)\right)6. Sviluppando la moltiplicazione si ottiene
(1+\lambda x)\left(1+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)\right)=1+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)+\lambda x+\cancel{\lambda^3x^3}+\cancel{o\left(x^3\right)}da cui possiamo cancellare i termini che vengono sovrastati dalla presenza dell’o\left(x^2\right), dunque si ottiene come espressione finale per la parte (1)
(1)=1+\lambda x+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)
7. Passiamo ora allo studio della parte (2). Possiamo semplicemente espandere tale radice con Taylor, infatti 2\lambda x\to0 quando x\to0. Dovremo espandere fino al secondo ordine per evitare di perdere informazioni sulla funzione
\begin{aligned}\sqrt{1+2\lambda x}&=1+\frac{1}{\cancel{2}}\cdot(\cancel{2}\lambda x)-\frac{1}{2}(2\lambda x)^2+o\left(x^2\right)\\[10pt]&=1+\lambda x-\frac{1}{2}\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)\end{aligned}8. Studiamo infine anche la parte (3). Osserviamo però che espandendo con Taylor tale quantità si ottiene
\log\left(1+x^3\right)=x^3+o\left(x^3\right)
che però sono entrambi degli o-piccolo di x^2, come abbiamo approssimato nei paragrafi precedenti. Notiamo però che eliminare la quantità (3) non rende il limite indeterminato, infatti a denominatore c’è ancora il contributi \mu x^2
9. Ricomponendo il limite iniziale con i risultati dei paragrafi 6, 7 e 8 si ha
\lim_{x\to0}\frac{1+\lambda x+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)\textcolor{00ffa1}{-}\left(1+\lambda x-\dfrac{1}{2}\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)\right)}{\mu x^2}10. Distribuendo il meno evidenziato e cancellando le quantità opposte si ottiene il limite
\lim_{x\to0}\frac{\cancel{1}+\cancel{\lambda x}+\lambda^2x^2+o\left(x^2\right)-\cancel{1}-\cancel{\lambda x}+\dfrac{1}{2}\lambda^2x^2}{\mu x^2}11. Si trova dunque in maniera ormai immediata il risultato finale sommando i termini simili al numeratore
\lim_{x\to0}\frac{3/2\lambda^2\cdot\cancel{x^2}}{\mu\cdot\cancel{x^2}}=\fbox{$\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\lambda^2}{\mu}$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
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