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Esercizio limiti esame #7
Calcolare il seguente limite al variare di \alpha\in\R^+
\lim_{x\to0^+}\frac{\sin\left(x^{\alpha}\right)-\alpha\tan(x)}{x}Suggerimento #1
Dividere la frazione distribuendo il denominatore.
Suggerimento #2
Per risolvere il limite bisogna usare il risultato del limite notevole \displaystyle\lim_{\psi\to0}\frac{\sin(\psi)}{\psi}.
Suggerimento #3
In particolare, nel caso dell’esercizio deve si ha \psi=x^{\alpha}: provare a ottenere tale risultato dopo aver diviso la frazione.
Suggerimento #4
È anche necessario l’utilizzo del limite notevole \displaystyle\lim_{\psi\to0}\frac{\tan(\psi)}{\psi}.
Suggerimento #5
Il limite da studiare al variare di \alpha dopo le semplificazioni è il seguente
\lim_{x\to0^+}\left[\frac{x^{\alpha}}{x}-\alpha\right]provare a discuterne il valore del risultato anche se non si è riusciti ad arrivare a tale semplificazione.
Svolgimento
1. Dividiamo la frazione di cui stiamo studiando il limite come
\lim_{x\to0^+}\left[\frac{\sin\left(x^{\alpha}\right)}{x}-\alpha\cdot\frac{\tan(x)}{x}\right]2. Per ottenere il limite notevole del secondo suggerimento è necessario moltiplicare la prima frazione per \dfrac{x^{\alpha}}{x^{\alpha}}=1
\lim_{x\to0^+}\left[\frac{\sin\left(x^{\alpha}\right)}{x}\cdot\textcolor{00ffa1}{\frac{x^{\alpha}}{x^{\alpha}}}-\alpha\cdot\frac{\tan(x)}{x}\right]3. Da cui riordinando i termini otteniamo il limite notevole che cercavamo, nonché quello del quarto suggerimento già presente dal primo paragrafo
\lim_{x\to0^+}\left[\underbrace{\frac{\sin\left(x^{\alpha}\right)}{\textcolor{00ffa1}{x^{\alpha}}}}_{\displaystyle=1}\cdot\frac{\textcolor{00ffa1}{x^{\alpha}}}{x}-\alpha\cdot\underbrace{\frac{\tan(x)}{x}}_{\displaystyle=1}\right]4. Sostituendo i valori dei limiti notevoli otteniamo l’espressione finale del quinto suggerimento che dovremo studiare al variare di \alpha\in\R^+
\lim_{x\to0^+}\left[\frac{x^{\alpha}}{x}-\alpha\right]=\underbrace{\lim_{x\to0^+}\left[x^{\displaystyle \alpha-1}-\alpha\right]}_{\displaystyle(\clubs)}5. Dalla seconda scrittura (\clubs) del limite notiamo subito che il valore \alpha=1 annulla l’esponente della x. Per tale valore di \alpha si otterrà dunque (0^+)^{0}=1, che non è una forma indeterminata, infatti basti pensare allo 0^+ come se fosse un 0.001 che elevato alla zero, come ogni altro numero, porta ad avere 1 come risultato. Dunque si ha
\underbrace{x^{\displaystyle \alpha-1}}_{\displaystyle=1}-\underbrace{\alpha}_{\displaystyle=1}=1-1=06. Nel caso in cui \alpha<1 (e ovviamente \alpha>0 dalla consegna dell’esercizio) il termine x^{\displaystyle\alpha-1} “si capovolge” diventando \dfrac{1}{x^{\alpha-1}}, e per x\to0^+ tende dunque a +\infty (il secondo parametro \alpha non ha alcuna influenza sul risultato)
7. Nel caso in cui ci sia invece \alpha>1 il termine x^{\displaystyle\alpha-1} si annulla quando x\to0^+, lasciando dunque -\alpha come risultato
8. Riassumendo i risultati
\lim_{x\to0^+}\left[x^{\displaystyle \alpha-1}-\alpha\right]=\begin{cases}0&\alpha=1\\+\infty&\alpha<1\\-\alpha&\alpha>1\end{cases}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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