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Esercizio limiti esame #8
Calcolare il valore del seguente limite al variare del parametro \alpha\in\R
\lim_{x\to0^+}\dfrac{\arctan\left(\sin(x)\right)-\sinh(x)}{x^{\alpha}(1-\cos^2(x))}Suggerimento #1
Sviluppare tramite Taylor la quantità \arctan(\sin(x)) espandendo prima l’arcotangente, e successivamente il seno.
Suggerimento #2
Dopo aver espanso anche le altre quantità al terzo ordine si trova un limite di cui possiamo studiare il comportamento attorno al punto \alpha=1.
Svolgimento
1. Per risolvere il limite abbiamo bisogno di approssimare le varie quantità di cui è composto: iniziamo con lo sviluppo della quantità \arctan(\sin(x)). Espandiamo inizialmente la funzione arcotangente tramite Taylor al terzo ordine
\arctan(\sin(x))=\textcolor{00ffa1}{\sin(x)}-\dfrac{\textcolor{33eae4}{\sin^3(x)}}{3}+o\left(\sin^3(x)\right)2. Passiamo ora allo sviluppo del seno sempre tramite Taylor. Questa volta dovremo sviluppare il primo seno (in verde) fino al terzo ordine, mentre il secondo (in blu) essendo già elevato al cubo dovrà semplicemente essere sviluppato al primo ordine—e tramite l’elevazione al cubo diventerà anch’esso di zero grado
\arctan(\sin(x))=\underbrace{\textcolor{00ffa1}{x-\dfrac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)}}_{\text{terzo ordine}}-\frac{1}{3}\left[\underbrace{\textcolor{33eae4}{x^3+o\left(x^3\right)}}_{\text{primo ordine}}\right]+o\left(x^3\right)3. Svolgendo la moltiplicazione e sommando i termini simili si ottiene
\begin{aligned}\arctan(\sin(x))&=x-\dfrac{x^3}{3!}-\dfrac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)\\[10pt]&=x-\dfrac{x^3}{2}+o\left(x^3\right)\end{aligned}4. Passiamo ora allo sviluppo del seno iperbolico
\sinh(x)=x+\dfrac{x^3}{2}+o\left(x\right)5. E a quello del coseno
\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)6. Che dovremo però elevare al quadrato, cancellando di conseguenza i termini che sono o-piccoli di x^3, già presente nelle altre quantità
\begin{aligned}\cos^2(x)&=\left[1-\dfrac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right]^2\\[15pt]&=1+\underbrace{\cancel{\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^2}}_{\displaystyle o\left(x^3\right)}+\cancel{2}\cdot\left(-\dfrac{x^2}{\cancel{2}}\right)+\underbrace{\cancel{o\left(x^3\right)}}_{\displaystyle o\left(x^3\right)}\\[35pt]&=1-x^2+o\left(x^3\right)\end{aligned}7. Ricomponendo i risultati trovati ai paragrafi 3, 4 e 6 si tratta di risolvere
\lim_{x\to0^+}\dfrac{x-\dfrac{x^3}{2}+\displaystyle o\left(x^3\right)\textcolor{00ffa1}{-}\left(x+\dfrac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)\right)}{x^{\alpha}\left(1\textcolor{00ffa1}{-}\left(1-x^2\right)\right)}8. Distribuendo i due meno evidenziati e cancellando i termini opposti
\lim_{x\to0^+}\dfrac{\cancel{x}-\dfrac{x^3}{2}-\cancel{x}-\dfrac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{x^{\alpha}\left(\cancel{1}-\cancel{1}+x^2\right)}9. Riscrivendo il limite omettendo per comodità la scrittura dell’o-piccolo
\lim_{x\to0^+}\dfrac{-\dfrac{2}{3}x^3}{x^{\alpha+2}}10. Portando fuori dal limite le parti costanti
-\dfrac{2}{3}\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x^{\alpha+2-3}}=-\dfrac{2}{3}\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x^{\alpha-1}}11. Il punto \alpha=1 è sicuramente d’interesse in quando annulla l’esponente del denominatore. Poiché stiamo studiando il limite quando x\to0^+ possiamo pensare di approssimare tale valore con 0.0001 ottenendo 0.0001^{1-1}=0.0001^0=1. Il risultato del limite è dunque unitario e l’unico contributo è quello costante di -2/3.
12. Se \alpha>1 si ottiene una frazione del tipo \dfrac{1}{(0^+)^{n}},\,n>0, tende a +\infty. Poiché è presente il contributo costante -2/3 il segno dell’infinito deve però cambiare e diventare -\infty.
13. Nell’ultimo caso in cui \alpha<1 invece la frazione si “capovolge”, portando la x a numeratore senza ottenere alcuna indeterminatezza quando x\to0^+. Si ha dunque come risultato -2/3\cdot0=0.
14. Riassumendo i risultati trovati
-\dfrac{2}{3}\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x^{\alpha-1}}=\begin{cases}0&\alpha<1\\-2/3&\alpha=1\\-\infty&\alpha>1\end{cases}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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