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Esercizio limiti esame #5
Calcolare il limite
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{7/\sqrt{n}}-1+3^{-n}}{\left(\sqrt{n+7}-\sqrt{n}\right)\cdot\log\left((n+1)^3\right)}Suggerimento #1
Espandere n^{7/\sqrt{n}} ricordando la proprietà \psi=e^{\log(\psi)} per utilizzare gli ordini di infinito per verificare che l’esponente della e sia infinitesimo.
Suggerimento #2
Possiamo applicare Taylor all’esponenziale per semplificare l’espressione.
Suggerimento #3
Il valore di 3^{-n} non crea indeterminatezza quando n\to+\infty, quindi possiamo sostituirlo con…
Suggerimento #4
La prima parentesi al denominatore può essere riscritta raccogliendo la n nella prima radice, per poter poi raccogliere un fattore \sqrt{n} dall’intera parentesi e poter applicare Taylor al termine \displaystyle\sqrt{1+\frac{7}{n}}
Suggerimento #5
Raccogliere la n a fattore comune dall’argomento del logaritmo e ricordare le seguenti proprietà dei logaritmi per semplificare l’espressione
\log\left(a^b\right)=b\log(a)\quad\quad\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)
Svolgimento
1. Diamo un nome alle porzioni del limite che andremo ad analizzare singolarmente
\lim_{n\to+\infty}\frac{\overbrace{n^{7/\sqrt{n}}}^{\displaystyle(1)}-1+\overbrace{3^{-n}}^{\displaystyle(2)}}{\underbrace{\left(\sqrt{n+7}-\sqrt{n}\right)}_{\displaystyle(3)}\cdot\underbrace{\log\left((n+1)^3\right)}_{\displaystyle(4)}}2. Partiamo dalla (1). Possiamo riscriverla utilizzando la proprietà dei logaritmi per cui \psi=e^{\log(\psi)}, ottenendo
n^{\displaystyle7/\sqrt{n}}=\exp\left(\log\left(n^{\displaystyle7/\sqrt{n}}\right)\right)=e^{\displaystyle\frac{7}{\sqrt{n}}\log(n)}3. Dove \exp=e e poiché \displaystyle\frac{7}{\sqrt{n}}\log(n)\to0 quando n\to+\infty possiamo usare lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale al primo ordine per riscrivere tale quantità come
e^{\displaystyle\frac{7}{\sqrt{n}}\log(n)}=1+7\frac{\log(n)}{\sqrt{n}}4. Per quanto riguarda invece (2) possiamo concludere semplicemente che
3^{\displaystyle-n}=\frac{1}{3^{\displaystyle-n}}\to0\text{ per }n\to+\inftydunque possiamo semplicemente sostituire (2) con zero.
5. Passiamo all’analisi di (3). Raccogliamo la n nella prima parentesi
\sqrt{n+7}-\sqrt{n}=\sqrt{n\left(1+\frac{7}{n}\right)}-\sqrt{n}6. Dove possiamo distribuire la funzione \sqrt{\cdot} nei fattori della prima radice come di seguito
\sqrt{n}\cdot\sqrt{1+\frac{7}{n}}-\sqrt{n}7. E raccogliere \sqrt{n} a fattore comune
\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{7}{n}}-1\right)8. Poiché 7/n\to0 quando n\to+\infty possiamo riscrivere la radice
\displaystyle\sqrt{1+\frac{7}{n}}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{7}{n}\right)approssimando tale quantità al primo ordine.
9. Inserendo tale quantità nell’equazione del paragrafo 7 otteniamo
\sqrt{n}\left(\cancel{1}+\frac{1}{2}\left(\frac{7}{n}\right)-\cancel{1}\right)=\frac{7\sqrt{n}}{2n}10. A questo punto possiamo passare all’analisi di (4) utilizzando le proprietà indicate nel quinto suggerimento applicando la prima
\log(n+1)^3=3\log(n+1)
11. Raccogliendo a fattore comune la n
3\log(n+1)=3\log\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)12. E applicando anche la seconda proprietà del suggerimento 5
3\log\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=3\left[\log(n)+\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]13. Che possiamo ora analizzare tramite Taylor per il secondo logaritmo. Vale infatti, al primo ordine
\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}14. Che possiamo sostituire nell’equazione del passaggio 12 e ottenere
3\left[\log(n)+\cancel{\frac{1}{n}}\right]=3\log(n)semplificando il fattore 1/n che per n\to+\infty risulta infinitesimo.
15. Ricomponendo il limite proposto in partenza con le semplificazioni ottenute nei paragrafi 3, 4, 9 e 14 si ha
\lim_{n\to+\infty}\frac{\cancel{1}+\displaystyle\frac{7\log(n)}{\sqrt{n}}-\cancel{1}+\cancel{0}}{\displaystyle\frac{7\sqrt{n}}{2n}\cdot3\log(n)}16. Che possiamo riscrivere dopo aver cancellato i termini opposti e moltiplicare per il reciproco del denominatore
\lim_{n\to+\infty}\frac{\cancel{7}\cancel{\log(n)}}{\textcolor{00ffa1}{\sqrt{n}}}\cdot\frac{2n}{\cancel{7}\textcolor{00ffa1}{\sqrt{n}}\cdot 3\cdot\cancel{\log(n)}}17. Cancellando i termini unitari e svolgendo la moltiplicazione tra le radici si ottiene la soluzione finale
\lim_{n\to+\infty}\frac{2\cancel{n}}{3\cancel{n}}=\fbox{$\displaystyle\frac{2}{3}$}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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