Home » Analisi 1 » Limiti esame »
Esercizio limiti esame #4
Calcolare il limite
\lim_{x\to0^+}\frac{2\left[\log\left(1+2x^2\right)-x\arctan(2x)\right]+4x^4}{\sinh(2x)-\sin(2x)}Suggerimento #1
Data la presenza dell’x^4 può essere utile provare a sviluppare le funzioni tramite Taylor fino al quarto ordine, per evitare che la predetta quantità venga semplicemente cancellata dalla presenza di un o-piccolo.
Svolgimento
1. Approssimiamo le funzioni coinvolte nel limite al quarto ordine
\log\left(1+2x^2\right)=2x^2-\frac{\left(2x^2\right)^2}{2}+o\left(x^4\right)\\[10pt]\arctan(2x)=2x-\frac{(2x)^3}{3}+o\left(x^4\right)\\[10pt]\sinh(2x)=2x+\frac{(2x)^3}{3!}+o\left(x^4\right)\\[10pt]\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^3}{3!}+o\left(x^4\right)2. Inserendo le nuove quantità approssimate nel limite si ottiene
\lim_{n\to0^+}\frac{2\left[2x^2-\displaystyle\frac{\left(2x^2\right)^2}{2}+o\left(x^4\right)\textcolor{00ffa1}{-x}\left(2x-\frac{(2x)^3}{3}+o\left(x^4\right)\right)\right]+4x^4}{2x+\displaystyle\frac{(2x)^3}{3!}\textcolor{00ffa1}{-}\left(2x-\frac{(2x)^3}{3!}\right)}3. Distribuendo il -x evidenziato e semplificando il denominatore
\lim_{x\to0^+}\frac{\textcolor{00ffa1}{2}\left[\cancel{2x^2}-\displaystyle\frac{4x^4}{2}+o\left(x^4\right)-\cancel{2x}+\frac{8x^4}{3}+\cancel{o\left(x^5\right)}\right]+4x^4}{\cancel{2x}+\displaystyle\frac{(2x)^3}{3!}-\cancel{2x}+\frac{(2x)^3}{3!}}4. Distribuendo ora il 2 evidenziato e cancellando i l’o-piccolo di x^5 che viene già incluso dalla presenza dell’o-piccolo di x^4
\lim_{x\to0^+}\frac{-\cancel{4x}+\displaystyle\frac{16}{3}x^4+\cancel{4x}+o\left(x^4\right)}{2\left(\displaystyle\frac{(2x)^3}{3!}\right)}5. Dove possiamo esprimere la frazione a denominatore come una moltiplicazione e trovare il risultato finale semplicemente sostituendo il valore a cui tende la x con la variabile—infatti tale azione non provoca indeterminatezza
\lim_{x\to0^+}\frac{\cancel{16}}{\cancel{3}}x^{\cancel{4}}\cdot\frac{\cancel{6}^2}{\cancel{16}\cancel{x^3}}=\lim_{x\to0^+}2x=\fbox{0}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
Dai un giudizio sulla sua difficoltà per aiutare chi in futuro proverà a risolverlo.
Se hai trovato errori, informazioni mancanti o hai qualche suggerimento per migliorare la spiegazione scrivi a
segnalazioni@esercizistem.com
Includendo il link di questa pagina.