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Esercizio limiti esame #3
Calcolare il limite
\lim_{x\to0}\frac{3\log(x+3)-x-3\log(3)}{e^{x^2}(\cosh(x)-1)}Suggerimento #1
Provare ad analizzare separatamente la porzione di limite con \log(x+3).
Suggerimento #2
Raccogliere il 3 dall’argomento del logaritmo e applicare la proprietà dei logaritmi \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b). A questo punto si ottiene un logaritmo espandibile tramite Taylor.
Suggerimento #3
Sostituire anche le altre funzioni espandibili con Taylor con le loro approssimazioni. Notare che e^{x^2} per x\to 0 equivale a e^0=1.
Svolgimento
1. Per prima cosa è necessario analizzare il \log(x+3) raccogliendo il 3 e applicando la proprietà dei logaritmi \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)
\log(x+3)=\log\left(3\left(1+\frac{x}{3}\right)\right)=\log(3)+\log\left(1+\frac{x}{3}\right)2. Poiché x/3\to0 per x\to0, possiamo espandere tramite gli sviluppi di Taylor l’espressione, fermandoci al secondo ordine
\log\left(1+\frac{x}{3}\right)\sim\frac{x}{3}-\frac{(x/3)^2}{2}+o(x^2)3. Per quanto riguarda invece e^{x^2} vale
\lim_{x\to0}e^{\displaystyle x^2}=e^0=14. Dunque possiamo sostituire direttamente tale espressione con 1. Ci rimane adesso da espandere con Taylor anche l’espressione del coseno iperbolico, fermandoci ancora una volta al secondo ordine
\cosh(x)=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)5. Abbiamo ora tutto ciò che ci serve per scrivere il limite in una forma semplificata. Ricomponendo le varie porzioni analizzate separatamente otteniamo
\lim_{x\to0}\frac{3\left(\log(3)+\displaystyle\frac{x}{3}-\frac{(x/3)^2}{2}\right)-x-3\log(3)}{\left(1+x^2\right)\left(\cancel{1}+\displaystyle\frac{x^2}{2}-\cancel{1}\right)}6. Da cui possiamo cancellare altre quantità dopo aver svolto le moltiplicazioni. Notare che a denominatore dalla moltiplicazione si ottiene un fattore x^4, che però viene “mangiato” dalla presenta dell’o\left(x^2\right), incluso per tale moltivo nell’equazione seguente
\lim_{x\to0}\frac{\cancel{3\log(3)}+\cancel{x}-\displaystyle\frac{\cancel{3}}{2}\cdot\frac{x^2}{\cancel{9}_{3}}-\cancel{x}-\cancel{3\log(3)}}{\displaystyle\frac{x^2}{2}+\cancel{\frac{x^4}{2}}+o\left(x^2\right)}7. Non ci rimane ora che riscrivere l’equazione nella sua forma finale ed effettuare le ultime cancellazioni per trovare il risultato finale
\lim_{x\to0}\frac{-\displaystyle\frac{x^2}{6}}{\displaystyle\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to0}\left(-\frac{\cancel{x^2}}{\cancel{6}_{3}}\right)\cdot\frac{\cancel{2}}{\cancel{x^2}}=-\frac{1}{3}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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