Esercizio limiti esame #2

Calcolare il seguente limite nella variabile $n\in\R$

\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\,\displaystyle\log\left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{1/n}}

Suggerimento #1

Per risolvere il limite è utile analizzarne alcune parti singolarmente, senza cercare di risolvere tutto nello stesso momento. Provare a capire quali sono le parti che devono essere riscritte, e quelle che invece possono essere lasciate così fino ai passaggi finali.

Suggerimento #2

La prima parentesi al numeratore può essere riscritta utilizzando il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Ragionare su quali possono essere le quantità da utilizzare come $a$ e $b$ per semplificare l’espressione del limite.

Suggerimento #3

Ricordare che $(n+1)!=n!(n+1)$ .

Suggerimento #4

Nel logaritmo provare a riscrivere $n+3$ come $n+2+1$ per poter distribuire il denominatore in modo tale da…

Suggerimento #5

Ricordare che $e^{\log(x)}=x$ per semplificare l’ultima parentesi al denominatore.

Svolgimento

1. Per risolvere il limite è utile analizzarne le diverse parti in maniera separata. Divideremo il limite come segue

\lim_{n\to+\infty}\frac{\overbrace{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)}^{(1)}\overbrace{(n+1)!}^{(2)}}{(n+1)^3\,\underbrace{\log\left(\frac{n+3}{n+2}\right)}_{(3)}+\underbrace{(n+3)^{1/n}}_{(4)}}

2. Partiamo dall’analisi della parte $(2)$ , che è la più semplice. Possiamo riscriverla come nel terzo suggerimento, e per eventuali dubbi fare riferimento alle regole della scomposizione dei fattoriali. Vale dunque

(n+1)!=n!(n+1)

3. Passiamo ora all’analisi della $(1)$ , che risulta più complessa, e per essere risolta bisogna bisogna moltiplicare $\sqrt{(n!)^2-13n}-n!$ per $1$ , esprimento però l’ $1$ come

\frac{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}=1

4. In questo modo possiamo infatti applicare a $(1)$ la moltiplicazione seguente

(a-b)\cdot\underbrace{\frac{a+b}{a+b}}_1

5. Dove $(a-b)$ è l’espressione $(1)$ , mentre il resto della frazione è una semplice moltiplicazione per $1$ , solo che viene espressa come al passaggio 3.

\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)\cdot\frac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}+n!\right)}{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}+n!\right)}

6. In questo modo possiamo applicare il secondo suggerimento per semplificare la moltiplicazione tra i numeratori tramite l’utilizzo del prodotto notevole $(a+b)\cdot(a-b)=a^2+b^2$ , eliminando dunque la radice al numeratore

\frac{\cancel{(n!)^2}-13n-\cancel{(n!)^2}}{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}=\frac{-13n}{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}

7. A questo punto rimane però da sistemare la radice a denominatore. Per toglierla dobbiamo raccogliere il $(n!)^2$ sotto la radice

\sqrt{(n!)^2-13n}+n!=\sqrt{(n!)^2\cdot\left(1+\frac{13n}{(n!)^2}\right)}+n!=(\spades)

8. Ricordando la prevalenza di $n!$ su $n$ per $n\to+\infty$ (dunque a maggior ragione la prevalenza di $(n!)^2$ su $n$ ), si avrà un annullamento completo del $13n$ per $n\to+\infty$ . Per eventuali dubbi fare riferimento agli ordini di infinito e provare a dare un’occhiata al grafico sotto

1+\frac{13n}{(n!)^2}\sim1\text{ per }n\to+\infty

9. Dal passaggio 7 si riesce dunque a semplificare l’espressione come

(\spades)=\sqrt{(n!)^2}+n!=2n!

10. Passiamo ora alla risoluzione della parte $(3)$ del limite. Come scritto nel suggerimento 4 è necessario riscrivere il numeratore dell’argomento del logaritmo come $n+3=n+2+1$ . In questo modo abbiamo $n+2$ sia a numeratore che denominatore e possiamo distribuire il denominatore nel modo seguente per semplificare l’espressione

\log\left(\frac{n+3}{n+2}\right)=\log\left(\frac{n+2+1}{n+2}\right)=\log\left({\frac{n+2}{n+2}}+\frac{1}{n+2}\right)=\log\left(1+\frac{1}{n+2}\right)

11. Adesso che abbiamo riscritto in maniera semplificata l’espressione possiamo notare che

\frac{1}{n+2}\to0\,\text{ per }\,n\to+\infty

12. dunque è possibile utilizzare gli sviluppi di Taylor per semplificare l’espressione. In particolare sarà sufficiente sviluppare il logaritmo tramite

\log(1+t)\sim t\text{ per }t\to0

13. dove però $t=1/(n+2)$ , dunque si avrà

\log\left(1+\frac{1}{n+2}\right)\sim\frac{1}{n+2}\text{ per }n\to+\infty

14. Passiamo ora all’analisi della parte $(4)$ del limite, dove è necessario applicare il quinto suggerimento. Sappiamo infatti che esponenziali e logaritmi sono funzioni inverse tra loro, e in quanto tali si annullano a vicenda se combinate assieme nella giusta maniera. Possiamo infatti scrivere

(n+3)^{1/n}=e^{\displaystyle\log(n+3)^{1/n}}=e^{\displaystyle1/n\cdot\log(n+3)}

15. È ora necessario osservare il comportamento del logaritmo e della $n$ verso $+\infty$ . Si tratta di ragionare tramite gli ordini di infinito, e poiché il la $n$ prevale sul logaritmo (guardare il grafico sotto), l’intera frazione ad esponente della $e$ si annulla.

\frac{\log(n+3)}{n}\to0\text{ per }n\to+\infty\Rightarrow e^0=1

16. A questo punto tutte le parti del limite che andavano manipolate algebricamente sono state sistemate. Andando a rivedere nei punti precedenti come sono state riscritte le varie porzioni del limite ne si trova la sua espressione finale, molto più facile da valutare

\lim_{n\to+\infty}\frac{-\displaystyle\frac{13n}{2n!}\cdot n!\,(n+1)}{(n+1)^3\cdot\displaystyle\frac{1}{n+2}+1}

17. Da cui possono essere cancellati i termini simili

\lim_{n\to+\infty}\frac{-\displaystyle\frac{13n}{2\cancel{n!}}\cdot\cancel{n!}\cdot n}{\underbrace{n^3\frac{1}{n}}_{n^2}+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-\displaystyle\frac{13n^2}{2}}{n^2+1}

18. E dopo ulteriori semplificazioni si ottiene il risultato finale $-13/2$

\lim_{n\to+\infty}-\frac{13}{2}\cancel{n^2}\cdot\frac{1}{\cancel{n^2}}=-\frac{13}{2}

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