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Esercizio limiti esame #2
Calcolare il seguente limite nella variabile n\in\R
\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\,\displaystyle\log\left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{1/n}}Suggerimento #1
Per risolvere il limite è utile analizzarne alcune parti singolarmente, senza cercare di risolvere tutto nello stesso momento. Provare a capire quali sono le parti che devono essere riscritte, e quelle che invece possono essere lasciate così fino ai passaggi finali.
Suggerimento #2
La prima parentesi al numeratore può essere riscritta utilizzando il prodotto notevole (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Ragionare su quali possono essere le quantità da utilizzare come a e b per semplificare l’espressione del limite.
Suggerimento #3
Ricordare che (n+1)!=n!(n+1).
Suggerimento #4
Nel logaritmo provare a riscrivere n+3 come n+2+1 per poter distribuire il denominatore in modo tale da…
Suggerimento #5
Ricordare che e^{\log(x)}=x per semplificare l’ultima parentesi al denominatore.
Svolgimento
1. Per risolvere il limite è utile analizzarne le diverse parti in maniera separata. Divideremo il limite come segue
\lim_{n\to+\infty}\frac{\overbrace{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)}^{(1)}\overbrace{(n+1)!}^{(2)}}{(n+1)^3\,\underbrace{\log\left(\frac{n+3}{n+2}\right)}_{(3)}+\underbrace{(n+3)^{1/n}}_{(4)}}2. Partiamo dall’analisi della parte (2), che è la più semplice. Possiamo riscriverla come nel terzo suggerimento, e per eventuali dubbi fare riferimento alle regole della scomposizione dei fattoriali. Vale dunque
(n+1)!=n!(n+1)
3. Passiamo ora all’analisi della (1), che risulta più complessa, e per essere risolta bisogna bisogna moltiplicare \sqrt{(n!)^2-13n}-n! per 1, esprimento però l’1 come
\frac{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}=14. In questo modo possiamo infatti applicare a (1) la moltiplicazione seguente
(a-b)\cdot\underbrace{\frac{a+b}{a+b}}_15. Dove (a-b) è l’espressione (1), mentre il resto della frazione è una semplice moltiplicazione per 1, solo che viene espressa come al passaggio 3.
\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)\cdot\frac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}+n!\right)}{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}+n!\right)}6. In questo modo possiamo applicare il secondo suggerimento per semplificare la moltiplicazione tra i numeratori tramite l’utilizzo del prodotto notevole (a+b)\cdot(a-b)=a^2+b^2, eliminando dunque la radice al numeratore
\frac{\cancel{(n!)^2}-13n-\cancel{(n!)^2}}{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}=\frac{-13n}{\sqrt{(n!)^2-13n}+n!}7. A questo punto rimane però da sistemare la radice a denominatore. Per toglierla dobbiamo raccogliere il (n!)^2 sotto la radice
\sqrt{(n!)^2-13n}+n!=\sqrt{(n!)^2\cdot\left(1+\frac{13n}{(n!)^2}\right)}+n!=(\spades)8. Ricordando la prevalenza di n! su n per n\to+\infty (dunque a maggior ragione la prevalenza di (n!)^2 su n), si avrà un annullamento completo del 13n per n\to+\infty. Per eventuali dubbi fare riferimento agli ordini di infinito e provare a dare un’occhiata al grafico sotto
1+\frac{13n}{(n!)^2}\sim1\text{ per }n\to+\infty9. Dal passaggio 7 si riesce dunque a semplificare l’espressione come
(\spades)=\sqrt{(n!)^2}+n!=2n!10. Passiamo ora alla risoluzione della parte (3) del limite. Come scritto nel suggerimento 4 è necessario riscrivere il numeratore dell’argomento del logaritmo come n+3=n+2+1. In questo modo abbiamo n+2 sia a numeratore che denominatore e possiamo distribuire il denominatore nel modo seguente per semplificare l’espressione
\log\left(\frac{n+3}{n+2}\right)=\log\left(\frac{n+2+1}{n+2}\right)=\log\left({\frac{n+2}{n+2}}+\frac{1}{n+2}\right)=\log\left(1+\frac{1}{n+2}\right)11. Adesso che abbiamo riscritto in maniera semplificata l’espressione possiamo notare che
\frac{1}{n+2}\to0\,\text{ per }\,n\to+\infty12. dunque è possibile utilizzare gli sviluppi di Taylor per semplificare l’espressione. In particolare sarà sufficiente sviluppare il logaritmo tramite
\log(1+t)\sim t\text{ per }t\to013. dove però t=1/(n+2), dunque si avrà
\log\left(1+\frac{1}{n+2}\right)\sim\frac{1}{n+2}\text{ per }n\to+\infty14. Passiamo ora all’analisi della parte (4) del limite, dove è necessario applicare il quinto suggerimento. Sappiamo infatti che esponenziali e logaritmi sono funzioni inverse tra loro, e in quanto tali si annullano a vicenda se combinate assieme nella giusta maniera. Possiamo infatti scrivere
(n+3)^{1/n}=e^{\displaystyle\log(n+3)^{1/n}}=e^{\displaystyle1/n\cdot\log(n+3)}15. È ora necessario osservare il comportamento del logaritmo e della n verso +\infty. Si tratta di ragionare tramite gli ordini di infinito, e poiché il la n prevale sul logaritmo (guardare il grafico sotto), l’intera frazione ad esponente della e si annulla.
\frac{\log(n+3)}{n}\to0\text{ per }n\to+\infty\Rightarrow e^0=116. A questo punto tutte le parti del limite che andavano manipolate algebricamente sono state sistemate. Andando a rivedere nei punti precedenti come sono state riscritte le varie porzioni del limite ne si trova la sua espressione finale, molto più facile da valutare
\lim_{n\to+\infty}\frac{-\displaystyle\frac{13n}{2n!}\cdot n!\,(n+1)}{(n+1)^3\cdot\displaystyle\frac{1}{n+2}+1}17. Da cui possono essere cancellati i termini simili
\lim_{n\to+\infty}\frac{-\displaystyle\frac{13n}{2\cancel{n!}}\cdot\cancel{n!}\cdot n}{\underbrace{n^3\frac{1}{n}}_{n^2}+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-\displaystyle\frac{13n^2}{2}}{n^2+1}18. E dopo ulteriori semplificazioni si ottiene il risultato finale -13/2
\lim_{n\to+\infty}-\frac{13}{2}\cancel{n^2}\cdot\frac{1}{\cancel{n^2}}=-\frac{13}{2}Congratulazioni, hai completato l’esercizio!
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