Integrale improprio generalizzato con logaritmo ed esponenziale

Dato un integrale del tipo

\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{e^{\displaystyle\tau x}\cdot x^{\alpha}\cdot\left[\log(x)\right]^{\beta}}\,dx\quad a>1\quad\alpha,\,\beta,\,\tau\in\R

Dato un integrale del tipo

Tale integrale ha un comportamento

Convergente
- se $\tau>0$ e $\alpha$ , $\beta$ qualsiasi
Divergente
- se $\tau<0$ e $\alpha$ , $\beta$ qualsiasi
Se $\tau=0$ l’integrale diventa un integrale improprio generalizzato con logaritmo (estremo in +infinito), che andrà dunque studiato tramite tali regole

Nota bene: il segno di $\tau$ determina la posizione a numeratore/denominatore dell’esponenziale, che è un infinito di ordine maggiore rispetto alle altre quantità, dunque la convergenza/divergenza della serie è sempre dovuta a tale termine.

Nota bene: nel caso in cui il valore di $a$ sia nell’intervallo $(0,\,1)$ l’integrale diventa un integrale improprio generalizzato con logaritmo (estremo in zero), che andrà di conseguenza studiato tramite tali regole.

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