Home » Intelligenza Artificiale » 📋 URL
Per calcolare l’effetto che un certo trattamento ha avuto, per esempio nel caso in cui si effettui un intervento con X=1 o X=0 e si vuole osservare l’effetto che tale trattamento ha sul risultato Y=1 si può utilizzare l’ACE. In particolare si tratterà di calcolare
ACE=P(Y=1 \mid do(X=1))-P(Y=1 \mid do(X=0))
Possiamo ora 3 diversi casi:
- Se ACE>0 il trattamento X ha effetto positivo
- Se ACE<0 il trattamento X ha effetto negativo
- Se ACE=0 il trattamento non ha alcun effetto
Esercizio: Consideriamo la seguente rete
Dove i valori delle variabili indicano:
\begin{aligned}
&X=
\begin{cases}
1&\text{paziente assume medicina}\\
0&\text{altrimenti}
\end{cases}\\[20pt]
&Y=
\begin{cases}
1&\text{se il paziente guarisce}\\
0&\text{altrimenti}
\end{cases}\\[20pt]
&A=
\begin{cases}
1&\text{se il paziente decide di curarsi}\\
0&\text{altrimenti}
\end{cases}
\end{aligned}B indica invece la presenza o meno di un effetto collaterale ma non è osservabile
Sapendo inoltre i valori numerici per le seguenti probabilità
\begin{aligned}
&P(A=0)=0.3\\
&P(X=0\mid A=0)=0.3\\
&P(X=0\mid A=1)=0.5\\
&P(Y=0\mid A=0,\,X=0)=0.4\\
&P(Y=0\mid A=0,\,X=1)=0.7\\
&P(Y=0\mid A=1,\,X=0)=0.6\\
&P(Y=0\mid A=1,\,X=1)=0.4
\end{aligned}Trovare l’ACE dell’assunzione della medicina sulla guarigione.
Soluzione
Nella rete è presente un solo backdoor path che può essere bloccato rimuovendo A, dunque nel caso della rete in figura l’insieme di variabili s che blocca tutti i backdoor path è composta soltanto da
s=\{A\}Poiché l’ACE richiesto è definito come
ACE=P(Y=1\mid do(X=0))-P(Y=1\mid do(X=1))
Possiamo dunque utilizzare il backdoor adjustment per trovare P(Y=1\mid do(X=1)) e P(Y=1\mid do(X=0)) nei modi seguenti:
\begin{aligned}
P(Y=1\mid do(X=1)) &= \sum_a P(Y=1\mid X=1,\,A)P(A)\\[10pt]
&=\overbrace{P(Y=1\mid X=1,\,A=0)}^{\displaystyle0.3}\cdot\overbrace{P(A=0)}^{\displaystyle0.3}+\\
&+\underbrace{P(Y=1\mid X=1,\,A=1)}_{\displaystyle0.6}\cdot\underbrace{P(A=1)}_{\displaystyle0.7}\\
&=0.51
\end{aligned}
\\[30pt]
\begin{aligned}
P(Y=1\mid do(X=0)) &= \sum_a P(Y=1\mid X=0,\,A)P(A)\\[10pt]
&=\overbrace{P(Y=1\mid X=0,\,A=0)}^{\displaystyle0.6}\cdot\overbrace{P(A=0)}^{\displaystyle0.3}+\\
&+\underbrace{P(Y=1\mid X=0,\,A=1)}_{\displaystyle0.4}\cdot\underbrace{P(A=1)}_{\displaystyle0.7}\\
&=0.46
\end{aligned}L’ACE richiesto sarà dunque
ACE=0.51-0.46=0.05